HDU

题意：

两个大数相乘。

思路：

这题是典型的FFT。

所谓FFT，也就是快速傅里叶变换，是一种加速两个多项式系数相乘的算法，可以通过插值表示多项式的思想，将多项式从系数形式转化成点值形式，点值形式的多项式相乘只需要O(n)，而FFT的关键就在于点值形式和系数形式之间的相互转化，可以利用分治的思想达到O(logn)的复杂度。

关于FFT的详细推导可以学习算法导论第30章。

一个题目如果需要用FFT来加速运算，首先要保证可以转化成多项式相乘的类型。

然后依据以下四个步骤：

1. 补全多项式到长度为2^n,不够的情况高位补0，复杂度O(n)

2. DFT过程，将系数表达式转化成点值表达式，复杂度O(nlogn)

3. 点值表达式相乘，得到结果的点值表达式形式，复杂度O(n)

4. 逆DFT过程，将点值表达式还原成系数表达式，复杂度O(nlogn)

就这道题来说，这里两个数可以分别看成两个多项式，每一位上的数都可以看作是多项式中一项的系数，这样大数乘法其实就是两个多项式的乘法，可以利用FFT来加速运算。

不要忘了得到的系数表达式的系数可能不满足十进制的要求，这时候需要进位，以及去掉前导0。

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define pi acos (-1)#define maxn 200010struct plex {       // 定义复数类    double x, y;    plex (double _x = 0.0, double _y = 0.0) : x (_x), y (_y) {}    plex operator + (const plex &a) const {        return plex (x + a.x, y + a.y);    }    plex operator - (const plex &a) const {        return plex (x - a.x, y - a.y);    }    plex operator * (const plex &a) const {        return plex (x * a.x - y * a.y, x * a.y + y * a.x);    }};void change (plex *y, int len) {    for (int i = 1, j = len / 2; i < len - 1; i++) {        if (i < j) swap(y[i], y[j]);        int k = len / 2;        while (j >= k) {            j -= k;            k /= 2;        }        if (j < k) j += k;    }}void fft(plex y[], int len, int on) {   // FFT过程，on==1时，将系数表达转换成点值表达，on==-1时，将点值表达转换成系数表达    change(y, len);    for(int h = 2; h <= len; h <<= 1) {        plex wn(cos(-on * 2 * pi / h), sin(-on * 2 * pi / h));        for(int j = 0; j < len; j += h) {            plex w(1, 0);            for(int k = j; k < j + h / 2; k++) {                plex u = y[k];                plex t = w * y[k + h / 2];                y[k] = u + t;                y[k + h / 2] = u - t;                w = w * wn;            }        }    }    if(on == -1) {        for(int i = 0; i < len; i++)            y[i].x /= len;    }}char a[maxn], b[maxn];plex x1[maxn], x2[maxn];int ans[maxn];int main () {    while (scanf ("%s%s", a, b) == 2) {        int len = 2, l1 = strlen(a), l2 = strlen(b);        while (len < l1 * 2 || len < l2 * 2) len *= 2;      // 扩充多项式长度到2^n        for (int i = 0; i < l1; i++)            x1[i] = plex(a[l1 - i - 1] - '0', 0);           // 补0        for (int i = l1; i < len; i++)            x1[i] = plex(0, 0);        for (int i = 0; i < l2; i++)            x2[i] = plex(b[l2 - i - 1] - '0', 0);        for (int i = l2; i < len; i++)            x2[i] = plex(0, 0);        fft(x1, len, 1);                // DFT过程        fft(x2, len, 1);        for (int i = 0; i < len; i++)   // 点值形式下相乘            x1[i] = x1[i] * x2[i];        fft(x1, len, -1);               // 逆DFT过程        for (int i = 0; i < len; i++) ans[i] = (int)(x1[i].x + 0.5);        for (int i = 0; i < len; i++) {    // 需要进位            if (ans[i] >= 10) {                ans[i + 1] += ans[i] / 10;                ans[i] %= 10;            }        }        len = l1 + l2 - 1;        while (ans[len] <= 0 && len > 0) len--;        for (int i = len; i >= 0; i--)            printf("%d", ans[i]);        puts("");    }    return 0;}