word2vec中一种模型的理解

• 定义及符号

       文本集合（Text）：T

单词（word）：w，使用长度为d的列向量表示

语境（context）:以单词w为中心，向前k个单词，向后k个单词所形成的短语中包含的单词

模型参数：θ

条件概率p(c|w)：当w出现时，某一语境c出现的概率

C(w)：在文本集合T中，单词w出现过的语境包含的单词的集合

语境中的单词c，使用长度为d的列向量表示 c∈C(w)

c和w均表示单词，但作者认为，即使对于同一个单词，比如apple，它作为普通单词和作为语境中的单词是的向量表示是不同的，因此使用不同的符号来表示语境中的单词和普通单词。

V：文本集合对应的词汇表

D：所有单词w和它的语境C(w)构成的组合的集合

• Skip-gram

Skip-gram的目标是寻找参数集合θ来最大化如下条件概率的乘积：

等同于下式：

作者使用了逻辑回归的扩展Softmax [4] 对θ进行形式化处理，使得条件概率转化为下式：

其中vc和vw分别是c和w的列向量，维度为d。C是所有语境中的单词构成的集合，等同于词汇表V。参数θ就是vc和vw中每一维度的具体取值，参数的总数为|C|×|V|×d。将式3代入式2，并于等式两边取对数可得：

作者认为，通过训练得到的单词的向量表示vw能够使得条件概率p(c|w)最大化，则vw是w的好的表示。这里潜在的基本假设是：相似的单词拥有相似的语境。换言之，特定的语境只有确定的语义才能够与之匹配。通过最大化条件概率，使得单词和语境之间的对应关系最大化，进而满足了基本假设：相似的单词拥有相似的语境。而满足条件概率最大化的单词矢量，也就成为了单词语义的合理表示。

从式3可以发现，由于条件概率p(c|w)的分母计算需要很大代价，作者使用hierarchical softmax来近似softmax，并用霍夫曼树来构建hierachical softmax.

• Negative Sampling

另一种降低计算代价的方法是改变目标函数。对于一个单词、语境组合（w,c），使用p(D=1|w,c)来表示这个组合存在于T中的概率，对应的p(D=0|w,c) = 1-p(D=1|w,c)，表示（w,c）不在T中的概率。与前文类似，假设集合θ是控制p(D=1|w,c)分布的参数，那么此时的目标是寻找参数集合θ来最大化（w,c）存在于T中的概率：

同样，使用softmax来量化p(D=1|w,c;θ)：

因此，最终的目标函数为：

为了使目标函数最大化，有一个很简单的方法，即使得vc=vw,且vc·vw=K。当K足够大时，可以得到p(D=1|w,c)=1，从而达到目标函数最大化。因此，为了所有的矢量有相同的值，作者生成了一个数据集D'，D'中的所有单词、语境组合都不存在于T中，这些样例被称之为反例（negative examples）,而获得反例的采样方法被称之为反例采集（negative-sampling）。引进了反例之后的目标函数演变为：

假设σ(x)=1/(1+e-x)，则：

和式4进行比较，可以明显的看到累加嵌套的消除。两者最大的区别是式4根据条件概率p(c|w)进行建模而此处根据联合概率p(D=1|w,c)进行建模