【数据结构与算法】哈夫曼树

1.基本概念

Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。

路径和路径长度

定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。

结点的权及带权路径长度

定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。 
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

树的带权路径长度

定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。 
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360 
右边的树WPL=290

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

2.图文解析

假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：

1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)； 
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和； 
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林； 
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。

第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。 
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。 
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。 
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。 
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。 
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！

3.源代码解析

Huffman

package Tree.huffman;public class Huffman {private HuffmanNode mRoot;// 根结点/*  * 创建Huffman树 * * @param 权值数组 */public Huffman(int a[]) {        HuffmanNode parent = null;MinHeap heap;// 建立数组a对应的最小堆heap = new MinHeap(a); for(int i=0; i<a.length-1; i++) {           HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum();  // 最小节点是左孩子        HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子 // 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；// parent的大小是左右孩子之和parent = new HuffmanNode(left.key+right.key, left, right, null);left.parent = parent;right.parent = parent;// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中heap.insert(parent);}mRoot = parent;// 销毁最小堆heap.destroy();}/* * 前序遍历"Huffman树" */private void preOrder(HuffmanNode tree) {if(tree != null) {System.out.print(tree.key+" ");preOrder(tree.left);preOrder(tree.right);}}public void preOrder() {preOrder(mRoot);}/* * 中序遍历"Huffman树" */private void inOrder(HuffmanNode tree) {if(tree != null) {inOrder(tree.left);System.out.print(tree.key+" ");inOrder(tree.right);}}public void inOrder() {inOrder(mRoot);}/* * 后序遍历"Huffman树" */private void postOrder(HuffmanNode tree) {if(tree != null){postOrder(tree.left);postOrder(tree.right);System.out.print(tree.key+" ");}}public void postOrder() {postOrder(mRoot);}/* * 销毁Huffman树 */private void destroy(HuffmanNode tree) {if (tree==null)return ;if (tree.left != null)destroy(tree.left);if (tree.right != null)destroy(tree.right);tree=null;}public void destroy() {destroy(mRoot);mRoot = null;}/* * 打印"Huffman树" * * key        -- 节点的键值  * direction  --  0，表示该节点是根节点; *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子; *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。 */private void print(HuffmanNode tree, int key, int direction) {if(tree != null) {if(direction==0)// tree是根节点System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);else// tree是分支节点System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");print(tree.left, tree.key, -1);print(tree.right,tree.key,  1);}}public void print() {if (mRoot != null)print(mRoot, mRoot.key, 0);}}

HuffmanNode

package Tree.huffman;/** * Huffman节点类(Huffman.java的辅助类) */public class HuffmanNode implements Comparable, Cloneable {protected int key;// 权值protected HuffmanNode left;// 左孩子protected HuffmanNode right;// 右孩子protected HuffmanNode parent;// 父结点protected HuffmanNode(int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right, HuffmanNode parent) {this.key = key;this.left = left;this.right = right;this.parent = parent;}@Overridepublic Object clone() {Object obj=null;try {obj = (HuffmanNode)super.clone();//Object 中的clone()识别出你要复制的是哪一个对象。    } catch(CloneNotSupportedException e) {System.out.println(e.toString());}return obj;    }@Overridepublic int compareTo(Object obj) {return this.key - ((HuffmanNode)obj).key;}}

huffmantest

package Tree.huffman;public class HuffmanTest {private static final int a[]= {5,6,8,7,15};public static void main(String[] args) {int i;Huffman tree;System.out.print("== 添加数组: ");for(i=0; i<a.length; i++) System.out.print(a[i]+" ");// 创建数组a对应的Huffman树tree = new Huffman(a);System.out.print("\n== 前序遍历: ");tree.preOrder();System.out.print("\n== 中序遍历: ");tree.inOrder();System.out.print("\n== 后序遍历: ");tree.postOrder();System.out.println();System.out.println("== 树的详细信息: ");tree.print();// 销毁二叉树tree.destroy();}}

MinHeap

package Tree.huffman;/** * 最小堆(Huffman.java的辅助类) * 一个无序数组转换成最小堆  父亲节点被换下来以后还需要再和孩子节点比较大小值  可能出现其新的位置的 * 左右孩子又有比他还小的 * * 最小堆在末尾插入数据的时候，只需要当前节点和父亲节点比较大小，如果比父亲节点大，就不需要再网上遍历 * 如果小，则还需要一直网上遍历，但是涉及到的节点只有当前节点和其祖先节点 不涉及兄弟节点 * 而且调整好以后的二叉树也是最小堆构造的 * * */import java.util.ArrayList;import java.util.List;public class MinHeap {private List<HuffmanNode> mHeap;// 存放堆的数组/*  * 创建最小堆 * * 参数说明： *     a -- 数据所在的数组 */protected MinHeap(int a[]) {mHeap = new ArrayList<HuffmanNode>();// 初始化数组for(int i=0; i<a.length; i++) {    HuffmanNode node = new HuffmanNode(a[i], null, null, null);mHeap.add(node);}// 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。for (int i = a.length / 2 - 1; i >= 0; i--)filterdown(i, a.length-1);}/*  * 最小堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */protected void filterdown(int start, int end) {int c = start;  // 当前(current)节点的位置int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置HuffmanNode tmp = mHeap.get(c);// 当前(current)节点while(l <= end) {// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子if(l < end && (mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1))>0))l++;// 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]int cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));if(cmp <= 0)break;//调整结束else {mHeap.set(c, mHeap.get(l));c = l;l = 2*l + 1;   }       }   mHeap.set(c, tmp);}/* * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆) * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明： *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */protected void filterup(int start) {int c = start;// 当前节点(current)的位置int p = (c-1)/2;// 父(parent)结点的位置 HuffmanNode tmp = mHeap.get(c);// 当前(current)节点while(c > 0) {int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp); //父亲节点和当前节点比较if(cmp <= 0)break;else {mHeap.set(c, mHeap.get(p));c = p;p = (p-1)/2;   }       }mHeap.set(c, tmp);}  /*  * 将node插入到二叉堆中 */protected void insert(HuffmanNode node) {int size = mHeap.size();mHeap.add(node);// 将"数组"插在表尾filterup(size);// 向上调整堆}/* * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据 */private void swapNode(int i, int j) {HuffmanNode tmp = mHeap.get(i);mHeap.set(i, mHeap.get(j));mHeap.set(j, tmp);}/*  * 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。 * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。 * * 返回值： *     失败返回null。 */protected HuffmanNode dumpFromMinimum() {int size = mHeap.size();// 如果"堆"已空，则返回if(size == 0)return null;// 将"最小节点"克隆一份，将克隆得到的对象赋值给nodeHuffmanNode node = (HuffmanNode)mHeap.get(0).clone();// 交换"最小节点"和"最后一个节点"mHeap.set(0, mHeap.get(size-1));// 删除最后的元素mHeap.remove(size-1);if (mHeap.size() > 1)filterdown(0, mHeap.size()-1);return node;}// 销毁最小堆protected void destroy() {mHeap.clear();mHeap = null;}}