一些数论知识（不定期更新）

欧拉定理

//我写的一部分在百度上应该能找到

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。
完全余数集合（完全剩余系）：
定义：小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|=φ(n)。
有关性质：
对于素数 p，φ(p)=p-1 。
对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。
这是因为Zn={1,2,3,…,n-1}-{p,2p,…,(q-1) * p}-{q,2q,…,(p-1) * q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1) * (q-1)＝φ(p)*φ(q)。
欧拉定理：
内容：对于互质的两个整数a、n，有a^φ(n)≡1 mod n。
证明：
(1)令Zn={x1,x2,···,xφ(n)}，S={a∗x1 mod n,a∗x2 mod n,···,a∗xφ(n) mod n}。
①因为a与n互质，xi(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a∗xi与n互质，所以a∗xi mod n∈Zn。
②当i≠j时，xi≠xj，由a，n互质可得a∗xi mod n≠a∗xj mod n（消去律）。
(2)a^φ(n)∗x1∗x2∗⋅⋅⋅∗xφ(n)mod n
=(a∗x1)∗(a∗x2)∗⋅⋅⋅∗(a∗xφ(n)) mod n
=(a∗x1 mod n)∗(a∗x2 mod n)∗⋅⋅⋅(a∗xφ(n) mod n) mod n
=x1∗x2∗⋅⋅⋅∗xφ(n) mod n
对比等式左右两端，因为xi(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a^φ(n)≡1 mod n（消去律）。
注：
消去律：如果gcd(c,n)=1，则ac≡bc mod n⇒ a≡b mod n
消去律证明：
令ac=pn+r,bc=qn+r
移项，得ac-pn=r,bc-qn=r
即ac-pn=bc-qn
移项，合并同类项，得(a-b)c=(p-q)n
∵gcd(c,n)=1
∴n|(a-b)
由同余式定义知a≡b mod n.