天籁数学——数列篇(3)
来源:互联网 发布:java语言入门书籍 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 19:24
这一篇说下第二种特征数列,等比数列,同样我们也应该知道它的”基本性质”,“扩充性质”和“判定方法”。
一:基本性质
1:通项公式: an=a1qn-1
2: 前n项和公式: Sn= a1(1-qn)/(1-q)
二: 判定方法
1: an+1/an=q (q是常数) => {an}是等比数列。
2:an=cqn => {an}是等比数列。
3: an+12=an*an+2 => {an}是等比数列。
三:扩充性质
1: an=am*qn-m;
2: 若m+n=p+q 则 aman=apaq;
3: 若{an}是等比数列,若每隔k项取出一项,那么取得的新数列仍是等比数列。
比如: k=3时 a1,a4,a7。
4: 若{an}是等比数列,则arar+1, ar+2ar+3, ar+4ar+5仍然成等比数列。
比如:r=1时 则数列 a1a2, a3a4, a5a6成等比数列。
5: 若{an}是等比数列,则ar+ar+1, ar+s+ar+s+1, ar+2s+ar+2s+1 仍成等比数列。
比如:r=1,s=10 则数列 a1+a2, a11+a12, a21+a22成等比数列。
6: 若{an}是等比数列,Sn是前n项和,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k仍成等比数列,公比为qk。
四:几种模型问题
1: 我们知道an/an-1=q(常数)时就认为{an}是等比数列,当q=bn时该如何处理,其实模型为an/an-1=bn。
证明: an/a1=(an/an-1)*(an-1/an-2)*(an-2/an-3)....*(a2/a1)
=> an/a1=bn*bn-1*bn-2......b1
=> an=a1*(b1b2b3...bn)
则:
2: 当数列的递推模型为an=b1an-1+b2an-2,可以看出我们现在要研究的是an, an-1, an-2之间的递归关系。
这种模型可以瞬间秒杀“斐波那契数列问题”。
求解过程如下:
①: 将an,an-1,an-2替换成x2,x,1
则得 x2=b1x+b2,该方程也就是{an}的二阶特征方程,然后解出特征根x1,x2。
②:
然后将a1,a2代入an后得到一组二元一次方程,求出c1,c2,最后得到an的通项公式。
五:几个小实际应用
1: 斐波那契问题
具体细节就不说了,我们直接看它的递归公式,当a1=1,a2=1, an=an-1+an-2。
解答: 我们用特征方程
首先将an,an-1,an-2替换成x2,x,1,则得到{an} 的一个二阶特征方程为:
x2=x+1 ①
由①得(求根公式)
x1=(1-√5)/2
x2=(1+√5)/2
因为x1!=x2,则
an=c1[(1-√5)/2]n+c2[(1+√5)/2]n ②
又因为a1=a2=1,则
c1[(1-√5)/2]+c2[(1+√5)/2]=1 ③
c1[(1-√5)/2]2+c2[(1+√5)/2]2=1 ④
求解方程得
c1=-(√5/5)
c2=(√5/5)
将c1,c2代入②式可得
an= (-(√5/5)[(1-√5)/2])n+(√5/5)*[(1+√5)/2]n
好了,我们知道通项公式了,想怎么秒杀就怎么秒杀了。
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