求两个数的最大公约数问题

本程序具有三种计算最大公约数的算法：相减法、辗转相除法以及穷举法。

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

这就是辗转相除法的原理。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29），

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0），

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29.

可以写成右边的格式。

用辗转相除法求几个数的最大公约数，可以先求出其中任意两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数，依次求下去，直到最后一个数为止。最后所得的那个最大公约数，就是所有这些数的最大公约数。

更相减损法（即相减法）

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”

翻译成现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

具体代码如下：

/*文件名：最大公约数 作者：Key-不会挖洞的猫鼬版本号：20170322.1.01完成日期：2017.3.22主要功能：利用相减法、辗转相除法、穷举法求两个数的最大公约数 */ #include<stdio.h>int a = 0,b = 0, c = 0;int select = 1;void subtract();     //相减法 void division();     //辗转相除法 void exhaustion();   //穷举法 void menu();         //用户界面 int main();void subtract()       //相减法 {printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开：\n");scanf ("%d,%d",&a,&b);        while ( a != b)     //a，b相等时结束          if (a > b)    //始终保持大数减小数              {         a = a - b;      }                 else             {           b = b - a;      }  printf ("最大公约数为：%d \n",a);int x;printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");scanf ("%d", &x);if (x == 1)    {return subtract();    }if (x != 1){return menu();}}void division()   //辗转相除法 {printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开：\n");scanf ("%d,%d",&a,&b);if (a < b)       //始终保证较大数为a，较小数为b     {c = a;a = b;b = c;    }while (b != 0)   //直到余数b为0时结束     {c = a;      //先用小的一个数除大的一个数,得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数,得第二个余数；a = b;      //又用第二个余数除第一个余数,得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数,直到余数是0为止b = c % b;     }printf ("最大公约数为：%d \n",a);int x;printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");scanf ("%d", &x);if (x == 1)    {return division();    }if (x != 1)    {return menu();    }}void exhaustion()     //穷举法 {    printf ("请输入2个整数,用逗号“,”隔开:\n");    int a = 0,b = 0;    scanf ("%d,%d", &a, &b);            //输入两个数a、b    int n = a;    if (n > b){n = b;                        //取两个数中的较小数}    for (int i = n;i >= 1;i --)      //从较小数开始尝试，直到i能同时被a、b整除        {              if (a % i == 0 && b % i == 0)                  {                     printf ("最大公约数：%d \n",i);                     break;                  }       }        int x;printf ("继续请输入1，返回上级请输入其他整数： \n");scanf ("%d", &x);if (x == 1)    {return exhaustion();    }if (x != 1)    {return menu();    } }void menu()     //用户选择界面 {int item;printf ("\n");printf ("         **********最大公约数********** \n") ;printf ("*************************************************\n");printf ("    *      1、相减法求最大公约数            *\n");printf ("    *      2、辗转相除法求最大公约数        *\n");printf ("    *      3、穷举法求最大公约数            *\n");printf ("    *      4、退出系统                      *\n");printf ("*************************************************\n");printf ("\n");printf ("请选择您需要的操作序号(1-4)按回车确认:");scanf ("%d", & item);printf ("\n");switch (item){ case 1: subtract();    //相减法  break; case 2: division();    //辗转相除法  break; case 3: exhaustion();  //穷举法  break; case 4: select = 0; break; default:     printf("请在1-3之间选择\n");     }         }int main(){   while (select)                    //select为0时，退出循环    {menu();                      //用户界面函数    }return 0;}   

运行结果展示：