二叉查找树

定义

二叉查找树（Binary Search Tree），也称二叉搜索树，是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

• 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
• 没有键值相等的节点。

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构，用于构建更为抽象的数据结构，如集合、multiset、关联数组等。

二叉查找树是基于二叉树的，其结点数据结构定义为如下：

private class Node {     private Key key;                private Value val;         // 存储的数据     private Node left, right;  // 左或右子树     private int size;          // 子树的节点数     public Node(Key key, Value val, int size) {          this.key = key;          this.val = val;          this.size = size;      }  }

查找操作

在二叉查找树中查找x的过程如下：

1、若二叉树是空树，则查找失败。

2、若x等于根结点的数据，则查找成功，否则。

3、若x小于根结点的数据，则递归查找其左子树，否则。

4、递归查找其右子树。

根据上述的步骤，写出其查找操作的代码：

    public boolean contains(Key key) {        if (key == null) throw new IllegalArgumentException("argument to contains() is null");        return get(key) != null;    }    public Value get(Key key) {        return get(root, key);    }    private Value get(Node x, Key key) {        if (key == null) throw new IllegalArgumentException("called get() with a null key");        if (x == null) return null;        int cmp = key.compareTo(x.key);        if      (cmp < 0) return get(x.left, key);//递归进左子树查找        else if (cmp > 0) return get(x.right, key);//递归进右子树查找        else              return x.val;//查找命中    }

插入操作

二叉树查找树b插入操作x的过程如下：

1、若b是空树，则直接将插入的结点作为根结点插入。

2、x等于b的根结点的数据的值，则直接返回，否则。

3、若x小于b的根结点的数据的值，则将x要插入的结点的位置改变为b的左子树，否则。

4、将x要出入的结点的位置改变为b的右子树。

代码如下：

public void put(Key key, Value val) {        if (key == null) throw new IllegalArgumentException("calledput() with a null key");        if (val == null) {            delete(key);            return;        }        root = put(root, key, val);        assert check();    }    private Node put(Node x, Key key, Value val) {        if (x == null) return new Node(key, val, 1);        int cmp = key.compareTo(x.key);        if      (cmp < 0) x.left  = put(x.left,  key, val);        else if (cmp > 0) x.right = put(x.right, key, val);        else              x.val   = val;        x.size = 1 + size(x.left) + size(x.right);        return x;    }

删除操作

二叉查找树中最难实现的就是删除操作。下面是一个解决办法：
在删除节点x后，用他的后继节点填补它的位置。步奏如下：

1，将指向即将被删除的节点的链接保存为t；

2，将x指向它的后继节点min(t.right)；

3，将x的右链接指向deleteMin(t.right)；

4，将x的左链接（本为空）设为t.left。

代码如下：

//删除最小节点（热身）public void deleteMin() {    if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Symbol table underflow");    root = deleteMin(root);}private Node deleteMin(Node x) {    if (x.left == null) return x.right;//不断检索左子树，直到遇到空的左链接，返回右链接    x.left = deleteMin(x.left);    return x;}//删除最大节点（热身）public void deleteMax() {    if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("Symbol table underflow");    root = deleteMax(root);}private Node deleteMax(Node x) {    if (x.right == null) return x.left;//不断检索右子树，直到遇到空的右链接，返回左链接    x.right = deleteMax(x.right);    return x;}//删除任意节点 public void delete(Key key) {        if (key == null) throw new IllegalArgumentException("called delete() with a null key");        root = delete(root, key); } private Node delete(Node x, Key key) {     if (x == null) return null;     int cmp = key.compareTo(x.key);     if      (cmp < 0) x.left  = delete(x.left,  key);     else if (cmp > 0) x.right = delete(x.right, key);     else {          if (x.right == null) return x.left;         if (x.left  == null) return x.right;         Node t = x;         x = min(t.right);//将x指向它的后继节点         x.right = deleteMin(t.right);//将x的右链接指向删除后所有节点都大于x.key的子二叉查找树         x.left = t.left;     }      return x; }   public Key min() {        if (isEmpty()) throw new NoSuchElementException("called min() with empty symbol table");        return min(root).key;    }     private Node min(Node x) {         if (x.left == null) return x;         else                return min(x.left);     }