蓝桥杯-历届试题-矩阵翻硬币-大数

来源：互联网发布：linux mkfifo 编辑：程序博客网时间：2024/06/04 18:19

题解

题目其实已经给出一种方法（模拟），不过看看数据就知道不可能。看到数据有10^1000就知道是大数。所以我们要先看看能不能找出什么规律。

先看 n = 1 的情况：对于(1 , m),只要看它翻转的次数奇偶就能确定它最终的状态。因为 x = 1，每次第一行都要参与翻转，当 y 能整除 m 的时候，(1 , m)会翻转，(1 , m)全过程翻转的次数取决于 m 的约数个数。（两个约数相同时算一个）1 的约数个数为1 ， 3 的约数个数为2， 5 的约数个数为2， 9 的约数个数为3。

所以可以得出一个结论：当 m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 其约数个数为奇数，否则其约数个数为偶数。
因为一般数约数都是成对出现，而一个数的平方数，有两个约数相等。

所以，最后(1 , m) m = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 最终状态为0，其他则为1。而最后0的个数总和 count = sqrt(m) , 取整。

再来看一般情况：(n , m)最后状态是什么？现在行的变化也是它翻转的因素。从上面容易推出，当m确定后，他的翻转次数为 n 的约数个数。而(n , m)翻转的次数 = (n的约数个数 * m的约数个数)。刚才分析了，只有在(n , m)翻转的次数为奇数时它的最终状态为 0。而只有奇数*奇数 = 奇数，所以n ,m的约数个数必须为奇数，即： n = k^2 (k = 1 ,2 ,3···) 且 m = j^2 (j = 1 ,2 ,3···)。

最后得出结论：对于n行m列矩阵，经过 Q 操作后反面的次数 count = sqrt(n) * sqrt(m) ,(取整后再相乘)。

终于是找到了公式，可是又有了新的难题，怎么对1000位数开方呢？
这里先给出定理：
假设位数为len的整数，开方取整后为一个lenSqrt位数。
当len为偶数，lenSqrt = len / 2 .
当len为奇数，lenSqrt = (len / 2) + 1 .

现在就简单了，位数确定了从高位到低位一位一位地确定。比如：sqrt(1028) ，表示对1028开方取整
它开方取整后两位数.先看第一位：
取 0， 00 * 00 < 1028 所以sqrt(1028) > 00
取 1， 10 * 10 < 1028 所以sqrt(1028) > 10
取 2， 20 * 20 < 1028 所以sqrt(1028) > 20
取 3， 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 4， 40 * 40 > 1028 所以sqrt(1028) < 40 , 所以第一位取 3 。
第二位：
取 0, 30 * 30 < 1028 所以sqrt(1028) > 30
取 1, 31 * 31 < 1028 所以sqrt(1028) > 31
取 2, 32 * 32 < 1028 所以sqrt(1028) > 32
取 3, 33 * 33 > 1028 所以sqrt(1028) < 33 , 所以sqrt(1028) = 32 。
大数是一样的道理，只不过大数用字符串保存，字符串相乘也要自己来实现。

c++代码：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;string stringMultiply(string str1,string str2) //字符串相乘{    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    int i,j,num[500]={0};  //num[]储存开方数，对于数据最大也只是10^1000，所以其开方数位数最多500位    string ans = "";    for(i=0;i<len1;i++)    {        for(j=0;j<len2;j++)        {            num[len1-i-1 + len2-j-1] += (str1[i]-'0')*(str2[j]-'0');            //因为字符串的最低位是数的最高位            //len1和len2位数相乘其结果是len1+len2-1到len1+len2位数之间，而num[]从0开始，所以最高位是len1+len2-2或len1+len2-1        }    }    for(i=0;i<len1+len2;i++)    {        //之前只是每位相加，现在实现进位        num[i+1] += num[i]/10;        num[i] %= 10;    }    for(i=len1+len2-1;i>=0;i--)    {        if(num[i]!=0) break; //找到最高位    }    for(j=i;j>=0;j--) ans += (num[j]+'0');    return ans;}int stringCompare(string str1,string str2,int x) //大数比较，str1后加x个0后与str2比{    int len1 = str1.length();    int len2 = str2.length();    if(len1+x<len2) return 0;    if(len1+x>len2) return 1;    for(int i=0;i<len1;i++)    {        if(str1[i]>str2[i]) return 1;        if(str1[i]<str2[i]) return 0;    }    return 0;}string stringSqrt(string str)  //大数开方{    int len = str.length();    string ans="";    string tmp="";    if(len&1)    {        for(int i=0;i<len/2+1;i++)        {            for(int j=0;j<10;j++)            {                tmp = ans;                tmp += (j+'0');                if(stringCompare(stringMultiply(tmp,tmp),str,2*(len/2-i))) //tmp后少了len/2-i个零，平方后少了2*（len/2-i）个零                {                    ans += (j-1+'0');                    break;                }                if(j==9)                {                    ans += '9';                    break;                }            }        }    }    else    {        for(int i=0;i<len/2;i++)        {            for(int j=0;j<10;j++)            {                tmp = ans;                tmp += (j+'0');                if(stringCompare(stringMultiply(tmp,tmp),str,2*(len/2-i-1))) //tmp少了len/2-i-1个零，tmp平方后少了2*（len/2-i-1）个零                {                    ans += (j-1+'0');                    break;                }                if(j==9)                {                    ans += '9';                    break;                }            }        }    }    return ans;}int main(){    string str1,str2;    cin>>str1>>str2;    cout<<stringMultiply(stringSqrt(str1),stringSqrt(str2))<<endl;    return 0;}

java本身提供大数类，所以一般用java写大数比较简单

java代码：

import java.util.*;import java.math.*;public class Main {    public static void main(String[] args)    {        Scanner cin = new Scanner(System.in);        String str1 = cin.next();        String str2 = cin.next();        BigInteger num1 = bigSqrt(str1);        BigInteger num2 = bigSqrt(str2);        BigInteger ans = num1.multiply(num2);        System.out.println(ans);    }    private static BigInteger bigSqrt(String str)    {        int len = str.length();  //被开方数的长度        int nlen;  //开方后的长度        BigInteger num = new BigInteger(str);  //被开方数        BigInteger ans,tmp;  //ans开方后的数，tmp开方后的平方数        String snum;  //储存sz转换后的字符串        if(len%2==1) nlen = len/2+1;        else nlen = len/2;        char[] sz = new char[nlen];        Arrays.fill(sz,'0');  //开方数初始化为0        for(int i=0;i<nlen;i++)        {            for(char j='0';j<='9';j++)            {                sz[i] = j;                snum = String.valueOf(sz);                ans = new BigInteger(snum);                tmp = ans.multiply(ans);                if(tmp.compareTo(num)==1)                {                    sz[i] -= 1;                    break;                }            }        }        return new BigInteger(String.valueOf(sz));    }}

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