最大流最小割(max flow min cut)

1.案例：

在1950’s的冷战中，最优的方式来破坏苏联到东德的铁路网？

2.背景：

有向加权图称之为网络，每一条边有方向和权重，我们在此认为图中存在一个源点和一个汇点，如图，顶点9为源点，顶点6为汇点。

割(CUT)：

割是网络中顶点的分割，将集合分割成为两个部分S和T，在一个流网络中，源点s包含于集合S中，汇点t包含于集合T中。

割集：

割的集合为起点在S中，终点在T中的边的集合。

割的容量：

为割集中边的权重和。

如图：我们取s点属于S，其余的点则属于T，那么割集为{<s,2>,<s,3>,<s,4>}，割的容量为10+5+15=30

当我们进行如下切割后，S={s,2,3,4},T={5,6,7,t}，那么割集为边的集合{<2,5>,<2,6,>,<3,6>,<4,7>}，割集的容量为9+15+8+30=62

(注意并不包含起点在T中，终点在S中的边的权重)。

流(FLOW)：

一个网络中的流是一个函数 f：E->R，给网络中的每一条边赋值，所赋值应该小于该边的容量，并且是非负的。

对于每一个中间节点，输出流和输入流必须是相等的，flow的值等于离开源点的流量值之和，也等于汇入汇点的流量之和。

最大流最小割原理：

对于任意网络，最大流的值等于最小割的容量。

Ford-Fulkerson算法：

残留网络：

指给定一个网络和一个流，其对应还可以容纳的流组成的网络。假定一个网络G=(V,E)，其源点是s，汇点为t，

设f为G中的一个流，对应顶点u到顶点v的流，在不超过C(u,v)(C代表容量)的条件下，从u到v之间可以压入的

额外网络流量，即边的残余容量(residual capacity),其计算公式为：

下图中f(2,5)=6,那么其残余网络边为r(2,5)=c(2,5)-f(2,5)=9-6=3, r(5,2)=c(5,2)-f(5,2)=0-(-f(2,5))=6,同样可以得到其他边。 

对于上图，我们可以得到其残余网络为：

增广路径：

已知一个流网络G和流f，增广路经p是其残留网络中从s到t的一条简单路径，形象的理解为从s到t存在一条不违反边容量的路径，

向这条路径中压入流量，可以增加整个网络的流值，下图中，存在一条从s到t的路径，我们可以压入该路径上最小单位的流量，

即2个单位的流量，在该路径上我们进行流量值的更新。

 

调整后的图为(注意到只能更新当前路径上的流量值，其他路径流量不能更新)，从而在该路径上，不能从s到达t。

 

同样的，继续查找可以从s到达t的路径，继续进行流量的调整，

 

直到找完所有路径，

我们便找到了最大流最小分割，在上图中为该网络中的最大流量(即最小割)为28.

Ford-Fulkerson寻找最大流的算法描述：

1. 建立残余网络

2. 从残余网络中找到一条从源点到汇点的路径，确保路径上的流严格大于0.

3. 如果存在这样的路径，更新路径上的流量(最小流量更新为0)，其他进行相应的改变.

4. 否则，已经是最大流

5. (s,t)-割，S中所有的顶点都从源点可达，T集合为V-S.

证明：当无法寻找到增广路径时，当前网络为最大流。

网络中的流量从源点流出的流量经过所有的中间节点后，都全部进入汇点，在残余网络中，我们改变流量，使得最终没有从

s点到t点的路径。在原网络中，对于顶点u属于S，v属于T，有f(u,v)=c(u,v).否则<u,v>存在残余流量，因而s到u加上u到v就构

成了一条s到v的通路，即有一条s到t的通路，这与无法找到增广路径矛盾。因此这表明当前流量f等于当前割的容量的，由于最

大流量等于最小割容量，因而当前流量为最大流量。

原文链接：http://web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/hudson/Eusden_maxflowmincut.pdf

参考文章：http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9293665