Ackerman函数

维基百科：阿克曼函数

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E5%85%8B%E6%9B%BC%E5%87%BD%E6%95%B8

阿克曼函数是非原始递归函数的例子；它需要两个自然数作为输入值，输出一个自然数。它的输出值增长速度非常高，仅是(4,3)的输出已大得不能准确计算。

1920年代后期，数学家大卫·希尔伯特的学生Gabriel Sudan和威廉·阿克曼，当时正研究计算的基础。Sudan发明了一个递归却非原始递归的Sudan函数。1928年，阿克曼又独立想出了另一个递归却非原始递归的函数。他最初的念头是一个三个变量的函数A(m,n,p)，使用康威链式箭号表示法是m→n→p。阿克曼证明了它是递归函数。希尔伯特在On the Infinite猜想这个函数不是原始递归。阿克曼在On Hilbert’s Construction of the Real Numbers证明了这点。后来Rozsa Peter和Raphael Robinson定义了一个类似的函数，但只用两个变量。

定义：

                 { n+1;                             m=0,n>0   
  A(m,n) = { A(m-1,1);                      n=0,m>0   
                 { A(m-1,A(m,n-1))           n>0,m>0 

求 ack(3,3) 的返回值：

int ack(int m,int n)  {      if(m == 0)          return n+1;      else if(n == 0)          return ack(m-1,1);      else          return ack(m-1,ack(m,n-1));  }  

0，ack(0,1)=2;

  ack(1,0)=ack(0,1)=2;

  ack(1,1)=ack(0,ack(1,0))=ack(1,0)+1=3;

  //容易口算出来的几个值

1,ack(1,n)=ack(0,ack(1,n-1))+1=ack(1,n-1)+1;  //递推式

  由递推式得：ack(1,n)=n+1;

  ps：递推式形如 A(n) = A(n-1) + 1，求A(n)。

      用的是高中数学知识，方法是“累加法”(加起来然后消掉)，是否想起来了？

2，ack(2,n)=ack(1,ack(2,n-1))=ack(2,n-1)+2;  //递推式

  由递推式得：ack(2,n)=2n+3;

  ps：A(n) = A(n-1) + 2，方法同 1

3,ack(3,n)=ack(2,ack(3,n-1))=2*ack(3,n-1)+3; //递推式

  即：ack(3,n)+3=2(ack(3,n-1)+3)

  得: ack(3,n)+3=(ack(3,1)+3)*2^n-1;

  又ack(3,1)=2ack(3,0)+3

    ack(3,0)=a(2,1)=5

  所以ack(3,1)=13;

  所以 ack(3,n)=2ⁿ⁺³ - 3;

  ps：递推式形如 A(n) = 2*A(n-1) + 3，求A(n)。

      方法是“拆分常数”，拆分常数3后 A(n) + 3 = 2*( A(n-1) + 3 )，

      令B(n) = A(n) + 3，即有 B(n) = 2*B(n-1)，等比数列啊，B(n)=B(1)*2^n-1，

      求出B(1),得到B(n),即可得到A(n)。

所以：ack(3,3)=61;

计算机运行该程序时一共调用了ack()函数2432次……

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