差分运算

之前在很多地方见到过差分运算，但不是很明白是是什么意思。

这次在看基于harris算子的角点检测时，又看到了在求灰度变化率时，对图像的微分计算时实际用差分运算来近似，就又看了一下差分运算是什么究竟，下面就我的初步了解作说明：

   首先，我们先说明什么是微分。

微分的定义：

设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。

此时当Δx无穷小时，下图的dy是近似等于Δy 的，

解读：当Δx无穷小时，dy是无限近似等于Δy 的，而dy是和dx有一定关系的，dy/dx就是函数在x点处切线的斜率，也就是上边所说的常数A，Δy和dy的差就是o(Δx)，是比Δx高阶的无穷小，就是上图中的MN部分。下面我们来正着推：Δy = dy + o(Δx)=dx*k(k为斜率)+o(Δx)；Δx无穷小时，Δy = dy=dx*k，dy/dx=k,k也该函数的导数。

   可以看出，微分的提出其实就是在近似函数在自变量变化无限小时函数的变化。这是针对连续性函数，那么怎么求离散型函数的微分的。

其实上边说的跑偏了。

差分的目的是去近似离散型函数的导数，导数其实就是变化率

一阶差分就是离散函数中连续相邻两项之差，

定义X(k)，则Y(k)=X(k+1)-X(k)就是此函数的一阶差分，X在k处的变化率就是{X(k+1)-X(k)}/(k+1-k)=X(k+1)-X(k)

同理，Y(k)一阶差分的二阶差分为Z(k)=Y(k+1)-Y(k)=X(k+2)-2*X(k+1)+X(k)，Z(k)为此函数的二阶差分