欧拉定理的应用

欧拉定理的应用

         定理1(Fermat)：如果p是素数，则对任意的a，有a^p-1 mod p = 1。
    定理2(Euler)：如果p不是素数，则对任意的gcd(a, p)=1，有a(p)^φ(p) mod p =1，其中
，p1，p2，……pk是p的所有素数因子。

【程序1】快乐2004

         考虑到一个正整数x，s是所有2004^x的因子的和，你的目标是求出s除以29的余数。
    当x=1时，2004¹的所有因子为1,2,3,4,6,12,167,334,501,668,1002和2004，因此s=4704，而4704 mod 29=6。
输入：
    输入有多个测试序列，每个测试序列一行一个正整数x，(1<=x<=10 000 000)。
    x=0表示输入结束，并且不需要处理。
输出：
    对每个测试序列，输出一行就是s除以29的余数。
输入样例：
10000
0
输出样例：
10

【解题思路】
    题目要求的是2004^x的因子和对29取模的结果。
    求某个数a的所有因子和，首先将该数分解：
    a = p1^r1×p2^r2×...×pn^rn，其中p1, p2, ... ,pn都是素数，则a的任意因子可以表示为：
    d = p1ⁱ¹×p2ⁱ²×...×pnⁱⁿ，其中0<=i1<=r1，...，0<= in<=rn
    将其求和，为
    例如，2004 = 2²×3×167，则
        
    而2004^x = 2^2x×3^x×167^x
    ，其中 r=(2^2x+1-1)(3^x+1-1)(167^x+1-1)。
    X还很大（1<=X<=10 000 000），根据Fermat定理，任意素数p，任意数a，有a^p-1 mod p=1，则a²⁸ mod 29=1，所以a^b mod 29 = a^{(b mod 28)} mod 29。
    所以首先将x对28取模，x=X mod 28是取模的结果，x就很小了（0<=x<28，有了这点，输入的X再大也没有关系），简单计算就可以得到r的值。
    最后，考虑到：s = (r mod 29)/332，即r+29k = 332S，k是满足等式的任意整数。
    而9×332－103×29=1，9×(r+29k) = 9×332S = S+103×29S
    所以r×9 mod 29 = S mod 29
    例如，当X=10 000时，计算2004¹⁰⁰⁰⁰ = 2¹⁰⁰⁰⁰×3¹⁰⁰⁰⁰×167¹⁰⁰⁰⁰的所有因子和对29取模的结果，
    其
    20001 mod 28=9， 10001 mod 28=5， 167 mod 29=22
    r=(2⁹-1)(3⁵-1)(22⁵-1) mod 29 = 18×10×12 mod 29 = 14。
    S mod 29 = r × 9 mod 29 = 14 × 9 mod 29 = 10， 2004¹⁰⁰⁰⁰的所有因子和对29取模的结果是10。

int mod29(int x){    for(r=0; r<=x; ++r){f = f * (r==x?2:4) % 29;t = t * 3 % 29;    }    r = (f-1)*(t-1)*(d-1) % 29;    return r * 9 % 29;}int main(){    while(cin >> x) cout << mod29(x % 28));}

【程序2】2^x mod n=1

        给定一个整数n，求一个最小的整数x，使得2^x mod n=1
输入：
    每行一个正整数n（0<=n<=2³¹-1）
输出：
    如果最小的正整数存在，输出一行2^x mod nl=1，其中的x和n用输入的n值和最小的x代替；否则，输出一行2^? mod n=1。
输入样例：
2
5
输出样例：
2^? mod 2=1
2^? mod 5=1

【解题思路】
    本题首先想到的可能是蛮力搜索，从x=1开始，逐步加大x，找到使得2^x mod n=1的x就输出。但考虑n比较大，满足2^x mod n=1的x可能也很大，所以直接求解的方法不行。
    根据Euler定理，当p是奇数时，a^φ(p) mod p =1，而
    
    因此，2^φ(n) mod n =1，φ(n)似乎就是答案。但题目要求的是满足2^x mod n=1最小的x，所以在某些情况下φ(n)≠x。例如，n=7，φ(n)=6，2^6 mod 7=1，但2^3 mod 7=1，最小的x是3。但可以推导出x一定是φ(n)的因子：如果x是满足2^x mod n=1最小的x，假设x不是φ(n)的因子，则r=φ(n) mod x， r大于0（因为假设x不是φ(n)的因子），同时r<x，注意到2^φ(n) mod n=1，而且2^x mod n=1，所以2^r mod n=1，则存在一个比x还小的正整数，使得2^r mod n=1，与假设x是最小矛盾。所以x一定是φ(n)的因子。

核心代码及注释：int prime[5000], n_prime; //根据素数分布定律，小于46340的素数约5000个sieve(){    short p[23170];    //求所有小于46340的素数，因为大于2的偶数都不是素数，所以筛法只对应所有的      大于1小于46340的奇数    //如果p[i]=1表示2*i+3素数，否则p[i]=0表示2*i+3不是素数    for(i=0; i<23170; ++i) p[i]=1; //初始化，假定所有奇数都是素数    for(i=0; i<106; ++i)if(p[i])  for(k=(i << 1)+3,j=(k+1)*(i+1)-1; j<23170; j+=k) p[j]=0;    for(prime[i=j=0]=2; i<23170; ++i)if (p[i]) prime[++j]=(i << 1)+3;    n_prime=j+1;}int ttn(int i, int n){  __int64 t=2,r=1; //用64位长整型防止中间结果溢出，t=22i，r=2i mod n  while(i){      if(i&l) r=t*r % n;      t=t*t % n;      i>>=1;  }  return r;}int phi(int n){  result=temp=n;  k=sqrt(n);  for(i=0; prime[i]<=k && i<n_prime; ++i)      if(!(temp % prime[i])){  //如果prime[i]是n的因子           do              temp/=prime[i];              while(!(temp % prime[i]));                  result = result/prime[i]*(prime[i]-1);              k=sqrt(temp);      }  if(temp-1) result = result/temp*(temp-1);  return result;}int main(){    sieve();    while(scanf("%d",&n)!=EOF){      if(n<2 || !(n&1)){        printf("2^? mod %d=1\n",n);        continue;      }     x=temp=phi(n);     for(i=j=0; prime[i]<=k && i<n_prime; ++i)  //列出phi(n)的所有素数因子        if(!(temp % prime[i])) r[j++]=prime[i]; //r记录phi(n)的所有素数因子     if(j==0 && temp>1) r[j++]=temp;     for(i=0; i<j; ++i){        while (x%r[i]==0 && (k=ttn(x,n)==1) x/=r[i];  //result是phi(p)的因子        if (k!=l) x*=r[i];     }     printf("2^%d mod %d=1\n",x,n);    }}

欧拉函数

        欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。
    通式为：
    对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.
    特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

    欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
    若n是质数p的k次幂，φ(n) = p^k - p^k-1 = (p-1)p^k-1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。