manacher算法

manacher算法核心代码：
算法基本要点：首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

S[] = “$#1#2#2#1#2#3#2#1#”;

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]），比如S和P的对应关系：
S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）
面计算P[i]，该算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。
这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。

if(mx > i){      p[i] = (p[2*id - i] < (mx - i) ? p[2*id - i] : (mx - i));}else{       p[i] = 1;}

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，见下图。

当 P[j] > mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能一个一个匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了
下面给出原文，进一步解释算法为线性的原因

#include<stdio.h>#include<string.h>char s[110010];char a[110010*2];int p[110010*2];int min(int x,int y){    return x<y?x:y;}int main(void){    int i,j,k,n,m,max,id,l;    while(scanf("%s",s)!=EOF)    {        l=strlen(s);        a[0]='&';        a[1]='#';        j=1;        for(i=0;i<l;i++)        {            j++;            a[j]=s[i];            j++;            a[j]='#';        }        max=0;        id=0;        for(i=2;i<=j;i++)        {            if(i<p[id]+id)//mx=p[id]+id;            p[i]=min(p[2*id-i],p[id]+id-i);            else            p[i]=1;            while(a[i-p[i]]==a[i+p[i]])            p[i]++;            if(id+p[id]<i+p[i])            id=i;            if(max<p[i])            max=p[i];        }        printf("%d\n",(max-1));    }    return 0;}