线段树

线段树是一棵完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(lgN)，从而大大减少耗时。树中的每一个结点表示了一个区间[a,b]。a,b通常是整数。每一个叶子节点表示了一个单位区间。对于每一个非叶结点所表示的结点[a,b]，其左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2,b](除法去尾取整），线段树需要的空间为数组大小的四倍。

线段树的基本用途：
线段树适用于和区间统计有关的问题。比如某些数据可以按区间进行划分，按区间动态进行修改，而且还需要按区间多次进行查询，那么使用线段树可以达到较快查询速度。

许多连续区间的动态查询问题，例如求取某一区间上元素之和、求取某一区间上元素的最大值，此时如果使用一般的方法求解会使得时间超出要求。此时需要使用到线段树，其主要用于高效解决连续区间的动态查询问题。

以1到10的区间举例，构造的线段树如下：

而算法构造基础的线段树主要包括Build（建树函数）、update（更新函数）和query（查询区间和函数）。

Build函数：

    void Build(int l, int r, int step)  //建树,step代表树节点的编号(以下均是)      {          tree[step].left = l;    //赋值          tree[step].right = r;          if(l ==r)    //l == r时说明伸展到叶子节点，返回              return;          int mid = (l+ r) >> 1;   //二分建树          Build(l,mid, step<<1);        //递归左子树          Build(mid+1,r, (step<<1)+1);  //递归右子树      }  

update函数：

    void Update(int l, int r, int value, int step)       {          if(tree[step].left== tree[step].right)   //一直更新到叶子节点返回              return;          int mid = (tree[step].left +tree[step].right) >> 1;          //如果所要更新的点的右端点小于mid或左端点大于mid，则直接更新l到r的值          if(r <= mid)                Update(l,r, value, step<<1);          else if(l> mid)              Update(l,r, value, (step<<1)+1);          //如果所要更新的点在mid的两边，则两边分别更新          else           {                 Update(l, mid, value, step<<1);              Update(mid+1, r, value, (step<<1)+1);          }      }  

query函数：

    int Query(int l, int r, int step)       {          //找到叶子返回叶子值          if(l == tree[step].left && r ==tree[step].right)              return tree[step].值;          int mid = (tree[step].left +tree[step].right) >> 1;          //查询和更新类似，都是分段操作          if(r <=mid)              return Query(l, r, step<<1);          if(l >mid)              return Query(l, r, (step<<1)+1);          else              return Query(l, mid, step<<1)+Query(mid+1, r, (step<<1)+1);      }  

以杭电oj的一题很基础的线段树单点更新的问题为例帮助理解：HDUOJ 1166

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了N个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些 工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少 若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报 第3个营地到第10个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样， 所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:”你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿 鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家 Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说：”我知错 了。。。”但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的 程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的.

Input

第一行一个整数T，表示有T组数据。
每组数据第一行一个正整数N（N<=50000）,表示敌人有N个工兵营地，接下来有N个正整数,第i个正整数ai代表第i个工兵营地里开始时有ai个人（1<=ai<=50）。
接下来每行有一条命令，命令有4种形式：
(1) Add i j,i和j为正整数,表示第i个营地增加j个人（j不超过30）
(2)Sub i j ,i和j为正整数,表示第i个营地减少j个人（j不超过30）;
(3)Query i j ,i和j为正整数,i<=j，表示询问第i到第j个营地的总人数;
(4)End 表示结束，这条命令在每组数据最后出现;
每组数据最多有40000条命令

Output

对第i组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Query 1 3

Add 3 6

Query 2 7

Sub 10 2

Add 6 3

Query 3 10

End

Sample Output

Case 1:

6

33

59

很容易联想到线段树解决此类问题。

以下代码转自tc大牛，在代码中我增加了函数的执行过程的注释，让执行的过程更容易理解。

    #include <cstdio>      #include <cstring>      int const MAX = 400000 + 10;      struct Tree            //树结构体      {          int left, right;     //树的左右子树          int sum;            //树的值      } tree[MAX];      void Build(int l, int r, int step)  //建树,step代表树节点的编号(以下均是)      {          tree[step].left = l;          tree[step].right = r;          tree[step].sum = 0;          // cout<<"建树"<<step<<endl;          printf("结点：%d  左 %d 右 %d\n",step,l,r);          if(l == r)    //l == r时说明伸展到叶子节点，返回              return;          int mid = (l + r) >> 1;   //二分建树          Build(l, mid, step<<1);          Build(mid+1, r, (step<<1)+1);      }      void Update(int l, int r, int value, int step)  //更新函数      {          tree[step].sum += value;   //因为这里是求和，所以直接将遍历到的点数值加上所传值          printf("结点%d加上%d\n",step, value);          if(tree[step].left == tree[step].right)   //一直更新到叶子节点返回              return;          int mid = (tree[step].left + tree[step].right) >> 1;          if(r <= mid)   //如果所要更新的点的右端点小于mid，则直接更新l到r的值              Update(l, r, value, step<<1);          else if(l > mid)  //如果所要更新的点的左端点大于mid，则直接更新l到r的值              //注意上面不能写成 r<mid 和 l>=mid 由树的性质决定，读者可以画图看出              Update(l, r, value, (step<<1)+1);          else  //如果所要更新的点在mid的两边，则两边分别更新          {              Update(l, mid, value, step<<1);              Update(mid+1, r, value, (step<<1)+1);          }      }      int Query(int l, int r, int step)  //查询函数      {          if(l == tree[step].left && r == tree[step].right)          {              printf("返节点%d的值%d\n",step,tree[step].sum);              return tree[step].sum;          }           //找到叶子返回叶子值          int mid = (tree[step].left + tree[step].right) >> 1;//以下类似更新步骤，不再阐述          if(r <= mid)          {              printf("结点：%d  查询%d到%d   \n",step,l,r);              return Query(l, r, step<<1);          }          if(l > mid)          {              printf("结点：%d  查询%d到%d   \n",step,l,r);              return Query(l, r, (step<<1)+1);          }          else          {              printf("结点：%d  查询%d到%d 和%d  %d \n",step,l,mid,mid+1,r);              return Query(l, mid, step<<1) + Query(mid+1, r, (step<<1)+1);          }      }      int main()      {          int T;          int a, b, n;          char cmd[6];          scanf("%d",&T);          for(int i = 1; i <= T; i++)          {              scanf("%d",&n);              Build(1,n,1);  //1-n建树              for(int j = 1; j <= n; j++)              {                  int temp;                  scanf("%d",&temp);                  Update(j,j,temp,1);   //从根一直更新到叶子              }              printf("Case %d:\n",i);              while(scanf("%s", cmd) != EOF && strcmp(cmd,"End") != 0)              {                  scanf("%d %d",&a, &b);                  if(strcmp(cmd,"Query") == 0)                      printf("%d\n", Query(a,b,1));                  else if(strcmp(cmd,"Add") == 0)  //加的时候b的值为正                      Update(a,a,b,1);                  else if(strcmp(cmd,"Sub") == 0)  //减的时候b的值为负                      Update(a,a,-b,1);              }          }      }  

为帮助理解，一下是区间个数为5的线段树的构造过程：

编号如下:

以下是添加五个数时线段树更新的过程：

以下是查询区间2-5函数执行的过程：

代码注释很详细，较为容易理解，若需提交oj只需将注释代码去掉即可。
笔者在挣扎了一段时间后终于将线段树入门理解大体理清楚，上面一题据大牛称为最最基础的线段树，只更新叶子结点。看来算法基础还是太过薄弱，还需加油加油再加油。关于线段树还会有后续练习和更新。
在此为防遗忘，特记下今日理解和收获以备来日复习。