线段树的区间更新

先介绍一下思想：转载自：http://blog.csdn.net/acceptedxukai/article/details/6933446

感觉这个大佬说的思想很不错：

给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。

需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和

介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。

在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间 。

下面通过具体的代码来说明之。（此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格）

在此先介绍下代码中的函数说明：

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。

PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点

PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值

rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

[cpp] view plain copy

1. __int64 sum[N<<2],add[N<<2];  
2. struct Node  
3. {  
4.     int l,r;  
5.     int mid()  
6.     {  
7.         return (l+r)>>1;  
8.     }  
9. } tree[N<<2];  

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间

下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

[cpp] view plain copy

1. void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点  
2. {  
3.     if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)  
4.     {  
5.         add[rt] += c;  
6.         sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);  
7.         return;  
8.     }  
9.     if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;  
10.     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);  
11.     int m = tree[rt].mid();  
12.     if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);  
13.     else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);  
14.     else  
15.     {  
16.         update(c,l,m,rt<<1);  
17.         update(c,m+1,r,rt<<1|1);  
18.     }  
19.     PushUp(rt);  
20. }  

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。

那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

[cpp] view plain copy

1. void PushDown(int rt,int m)  
2. {  
3.     if(add[rt])  
4.     {  
5.         add[rt<<1] += add[rt];  
6.         add[rt<<1|1] += add[rt];  
7.         sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));  
8.         sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);  
9.         add[rt] = 0;//更新后需要还原  
10.     }  
11. }  

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

接着就是update操作的三个if语句了，这里我曾经一直不理解，多亏nyf队友的指点，借此感谢之。

下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

[cpp] view plain copy

1. __int64 query(int l,int r,int rt)  
2. {  
3.     if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)  
4.     {  
5.         return sum[rt];  
6.     }  
7.     PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);  
8.     int m = tree[rt].mid();  
9.     __int64 res = 0;  
10.     if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);  
11.     else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);  
12.     else  
13.     {  
14.        res += query(l,m,rt<<1);  
15.        res += query(m+1,r,rt<<1|1);  
16.     }  
17.     return res;  
18. }  

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。

ps: 线段树更新的时候我发现了两种不同的写法：

1.第一种是区间包含

ll query(ll rt,ll L,ll R){if(L <= tree[rt].l && tree[rt].r <= R){return tree[rt].sum;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;ll ret = 0;if(L <= mid)ret += query(rt<<1,L,R);if(R >= mid + 1)ret +=query(rt <<1|1,L,R);return ret;}

2.第二种是具体到区间的边界

ll query(ll rt,ll L,ll R){if(L == tree[rt].l && tree[rt].r == R){return tree[rt].sum;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;ll ret = 0;if(R <= mid)ret += query(rt<<1,L,R);else if(L >= mid + 1)ret +=query(rt <<1|1,L,R);else {ret += query(rt<<1,L,mid);ret += query(rt << 1 | 1,mid + 1,R);}return ret;}

POJ3468

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const ll maxn = 100000 + 10;struct Tree{ll l;ll r;ll sum;ll add;}tree[maxn * 4];ll a[maxn];void Push_down(ll rt,ll len){if(tree[rt].add){tree[rt << 1].add += tree[rt].add;tree[rt << 1 | 1].add += tree[rt].add;tree[rt << 1].sum += (len - (len>> 1)) * tree[rt].add;tree[rt << 1 | 1].sum += (len >> 1 )*tree[rt].add;tree[rt].add = 0;}}void build(ll rt,ll l,ll r){tree[rt].l = l;tree[rt].r = r;if(l == r){tree[rt].sum = a[l];return;}ll mid = (l + r) >> 1;build(rt <<1,l,mid);build(rt<<1|1,mid+1,r);tree[rt].sum = tree[rt << 1].sum + tree[rt << 1 | 1].sum;}ll query(ll rt,ll L,ll R){if(L == tree[rt].l && tree[rt].r == R){return tree[rt].sum;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;ll ret = 0;if(R <= mid)ret += query(rt<<1,L,R);else if(L >= mid + 1)ret +=query(rt <<1|1,L,R);else{ret += query(rt <<1 ,L,mid);ret += query(rt <<1|1,mid +1 ,R);}return ret;}void update(ll rt,ll L,ll R,ll val){if(tree[rt].l == L && tree[rt].r == R){tree[rt].add += val;tree[rt].sum += val * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1);return;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>>1;if(R <= mid)update(rt<<1,L,R,val);else if(L >= mid + 1)update(rt<<1|1,L,R,val);else {update(rt << 1,L,mid,val);update(rt <<1 | 1,mid + 1,R,val);}tree[rt].sum = tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum;}//void Prll(ll rt)//{////cout << rt << " " << tree[rt].l << " " << tree[rt].r << " " << tree[rt].sum <<" " << tree[rt >> 1].add << endl;//if(tree[rt].l == tree[rt].r)//return;//Prll(rt <<1);//Prll(rt << 1 | 1);//}int main(){ll Tcase;ll n,m;    while( ~ scanf("%I64d%I64d",&n,&m)){for(ll i = 1; i <= n; i ++)scanf("%I64d",&a[i]);build(1,1,n);char s[10];ll x,y;for(ll ii = 1; ii <= m; ii ++){scanf("%s%I64d%I64d",s,&x,&y);if(s[0] == 'Q'){cout << query(1,x,y) << endl;}else if(s[0] == 'C'){ll z;scanf("%I64d",&z);update(1,x,y,z);}//Prll(1);//puts("");}}return 0;}

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const int maxn = 100000 + 10;struct Tree{ll l;ll r;ll sum;ll add;}tree[maxn * 4];ll a[maxn];void Push_down(ll rt,ll len){if(tree[rt].add){tree[rt << 1].add += tree[rt].add;tree[rt << 1 | 1].add += tree[rt].add;tree[rt << 1].sum += (len - (len>> 1)) * tree[rt].add;tree[rt << 1 | 1].sum += (len >> 1 )*tree[rt].add;tree[rt].add = 0;}}void build(ll rt,ll l,ll r){tree[rt].l = l;tree[rt].r = r;tree[rt].add = 0;if(l == r){tree[rt].sum = a[l];return; }ll mid = (l + r) >> 1;build(rt <<1,l,mid);build(rt<<1|1,mid+1,r);tree[rt].sum = tree[rt << 1].sum + tree[rt << 1 | 1].sum;}ll query(ll rt,ll L,ll R){if(L <= tree[rt].l && tree[rt].r <= R){return tree[rt].sum;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;ll ret = 0;if(L <= mid)ret += query(rt<<1,L,R);if(R >= mid + 1)ret +=query(rt <<1|1,L,R);return ret;}void update(ll rt,ll L,ll R,ll val){if(tree[rt].l >= L && tree[rt].r <= R){tree[rt].add += val;tree[rt].sum += val * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1);return;}Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>>1;if(L <= mid)update(rt<<1,L,R,val);if(R >= mid + 1)update(rt<<1|1,L,R,val);tree[rt].sum = tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum;}int main(){ll Tcase;ll n,m;    while( ~ scanf("%I64d%I64d",&n,&m)){for(ll i = 1; i <= n; i ++)scanf("%I64d",&a[i]);build(1,1,n);char s[10];ll x,y;for(ll ii = 1; ii <= m; ii ++){scanf("%s%I64d%I64d",s,&x,&y);if(s[0] == 'Q'){cout << query(1,x,y) << endl;}else if(s[0] == 'C'){ll z;scanf("%I64d",&z);update(1,x,y,z);}}}return 0;}