算法基础篇(8)------最小生成树

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导语

最小生成树顾名思义，首先是一棵树，而“最小”的含义是指其边长之和最小，其常用算法有prim（普里姆）算法和kruskal（克鲁斯卡尔）算法两种。那么，最小生成树能解决什么问题？这两种算法分别是如何实现的？

最小生成树

我们不妨从实际问题开始着手：在N个城市之间铺设光缆，城市间铺设光缆的费用各不相同，现要求任意两个城市可以通信，求铺设光缆的最小花费。

根据题目描述，我们可以将城市作为节点，城市间以边相连，光缆铺设费用则为边长，构成无向图。求最小铺设费用即等价于求出这张无向图的最小生成树。现假设有A、B、C、D共4个城市，城市间光缆铺设费用分别为AB = 8，AC = 1，AD = 6，BC = 3，BD = 2，CD = 5。下面分别讲一下prim和kruskal这两种算法的实现思路。

prim算法 该算法可以从任意节点开始建树。一句话概括其算法思想为：从原点开始，每次添加与当前最小生成树相连且不成环的最短边，直到添加所有节点为止。这里我们从A节点开始推进算法，步骤如下图所示：

以A为最初的最小生成树开始，首先添加与之相连不成环且最短的AC边，然后按规则依次添加BC、BD边，所有节点均已添加，因此算法结束，最小花费为1 + 3 + 2 = 6。一般情况下，prim算法的时间复杂度为O(V^2)。

kruskal算法 一句话概括该算法的基本思想为：每次从待选边集中选出与当前森林不成环且最短的边加入森林，直到所有节点形成一颗树为止。该思想决定了kruskal算法只能从最小的边开始建树，算法推进步骤如下图所示：

从最短的AC边开始建树，首先将AC边加入森林，然后按规则依次加入BD、BC边，所有节点已构成一棵树，因此算法结束，最小花费同样为1 + 2 + 3 = 6。这里需要用到排序，一般情况下我们使用快排，因此kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)。

值得一提的是，稠密图（边数较多）适合用prim算法，而稀疏图则适合用kruskal算法。敬请期待下节内容。

结语

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