FM算法详解

参考：http://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/52143909

http://blog.csdn.net/dream_catcher_10/article/details/50844976

简介

1.FM（factorization machine）模型是一种基于矩阵分解的机器学习模型，对于One-Hot编码引起的稀疏数据具有很好的学习能力；
2.FM模型与LR模型的区别在于引进了特征组合，选择合适的K值可提高模型的泛化能力；；

FM算法

普通的线性模型，我们都是将各个特征独立考虑的，并没有考虑到特征与特征之间的相互关系。但实际上，大量的特征之间是有关联的。最简单的以电商为例，一般女性用户看化妆品服装之类的广告比较多，而男性更青睐各种球类装备。那很明显，女性这个特征与化妆品类服装类商品有很大的关联性，男性这个特征与球类装备的关联性更为密切。如果我们能将这些有关联的特征找出来，显然是很有意义的。

一般的线性模型为： 

y=ω0+∑i=1nωixi

从上面的式子很容易看出，一般的线性模型压根没有考虑特征间的关联。为了表述特征间的相关性，我们采用多项式模型。在多项式模型中，特征xi与xj的组合用xixj表示。为了简单起见，我们讨论二阶多项式模型。具体的模型表达式如下：

y=ω0+∑i=1nωixi+∑i=1n−1∑j=i+1nωijxixj

上式中，n表示样本的特征数量,xi表示第i个特征。 
与线性模型相比，FM的模型就多了后面特征组合的部分。

FM求解

从上面的式子可以很容易看出，组合部分的特征相关参数共有

n(n−1)2个。但是如第二部分所分析，在数据很稀疏的情况下，满足xi,xj都不为0的情况非常少，这样将导致ωij无法通过训练得出。

为了求出ωij，我们对每一个特征分量xi引入辅助向量Vi=(vi1,vi2,⋯,vik)。然后，利用vivTj对ωij进行求解。

那么ωij组成的矩阵可以表示为: 
 
上面的表达形式，就对应了一种矩阵的分解。对k值的限定，就反应了FM模型的表达能力。

要求出<vi,vj>，主要是采用了如公式((a+b+c)2−a2−b2−c2求出交叉项。具体过程如下：