莫比乌斯反演 学习笔记
来源:互联网 发布:it技能 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 02:19
预备知识
枚举除法
并且对于i,
一个非常有用性质:
积性函数
完全积性函数:不要求ab互质。
若函数
并且由于
可以得出
常见函数
除了最后一个其余都是积性函数
狄利克雷卷积
对于算术函数
比如说一个公式
狄利克雷卷积的运算满足:
(1)交换律:
(2)结合律:
(3)分配律:
几个性质:
1、存在单位函数
可以根据卷积的定义理解一下,枚举
2、如果
莫比乌斯函数μ
定义
(1)若
(2)若
(3)其他情况下,
显然,
性质
即
不会证明…
莫比乌斯反演
公式
若满足条件
那么可以得出结论
即已知
则
证明
利用狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演公式
1° 已知
2°
3° 又因为
证毕
另一个公式
若满足条件
那么可以得出结论
似乎这个公式在做题的时候更常用些
因为反演的题gcd用的比较多…
化式子常用技巧
杜教筛
栗子:求
关于杜教筛:
求
我们定义
如果
假设计算出
如果用筛法预处理前k个
实际上上面的复杂度证明我也不懂…只是搬运了神犇的讲解…
φ
利用一个反演公式
得出
那么设
令
那么原式
也就是说
μ
设
同样利用一个反演公式
令
那么原式
也就是说
又因为
所以
咦怎么感觉就是省了点常数…
加几个链接:
http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009
http://jiruyi910387714.is-programmer.com/posts/195270.html
http://www.cnblogs.com/abclzr/p/6242020.html
例题
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