pixhawk篇之坐标系转化，相关转化矩阵知识，算法截取

来源：互联网发布：cms 权限数据库设计编辑：程序博客网时间：2024/06/06 05:29

前沿：本文參考大量英文論文，書籍。並沒有標記處引用，但都是經過自己理解后手打的內容。請尊重別人的版權

部分內容是原作英文內容的翻譯。因篇幅，經過修剪。

一：座標係介紹

1.1 總括

      1. the geodetic coordinate system,
      2. the earth-centered earth-fixed (ECEF) coordinate system,
            3. the local north-east-down (NED) coordinate system,
            4. the vehicle-carried NED coordinate system, and
            5. the body coordinate system

一般我們所研究的小型無人機，會做一些簡化，比如在local NED和body frame之間的轉化

將忽略一些次要因素。實際上只需要關注於local NED和body frame系統座標係就可以了。

1.2 座標係介紹

1.2.1. the geodetic coordinate system

gps導航中廣泛使用的系統，其座標係表示爲P=[ λ, φ, h]^T，實際上，因爲地球並非一個規則的橢球面

其φ要區別於以質心爲中心的一般的φ。

1.2.2the earth-centered earth-fixed (ECEF) coordinate system

ecef座標係與gcs座標係關係緊密，其Z軸選自地球自轉軸，X軸從地球中心指向本初子午線方向於赤道相交點

Y軸於Z軸和X軸滿足右手定則，注意，這裏的右手定則非電磁學右手定則

1.2.3 local NED

本地NED，比較重要的座標係。以無人機起飛點爲原點，X軸指向地球橢球模型的北極，Y軸指向東，Z軸滿足右手

定則指向地球表面。其中三個重要向量P,V,A,下標用n表示。（數學表達式不知道怎麼打入，就不表示了，關鍵的會截圖出來）

1.2.4 vehicle-carried NED

這個於localNED非常相似，但是嚴格上，會隨着飛行器的動作變化而變化，但是因爲飛行器的飛行包線非常小，所以

可以近似機載NED於本地NED的座標軸方向一致

1.2.5 the body coordinate system

機體座標係，X軸指向機體正前方，Y軸機體正右側，Z軸構成右手定則，垂直向下。

這裏值得注意的是，此時的速度Vb,加速度ab將是機體相對本地NED座標係的Vnb,anb到機體座標係的投影！

註：這段的原版英文就不貼出來，我翻閱了很多資料，我認爲這樣的翻譯是最正確的，有些中文解釋，並未暗示處這層關係

二：座標係變換

2.1 概述

兩個笛卡爾座標係之間，可以通過3次連續的歐拉旋轉相互得到。歐拉角分爲3個，yaw,pitch,roll且兩個座標係的變化也是按照

這樣的順尋。而對於無人機主要關心的也是local ned和vechicle body之間的轉換。

問題二：爲什麼需要將本地ned和機體座標係之間相互轉換？

角速度是相對兩個座標係而言，這裏有更詳細的論述，但是頗爲抽象

2.2 旋轉過程

簡單來說，是本地NED向機體座標係的靠攏，先讓Xn軸趨近Xb，而作出的旋轉都是以轉置座標係的另一個成右手定則的軸爲基準。

最後經過經過三次變換得到機體座標係。用手比劃一下也能明白。

從數學上表示爲

2.3座標變換

這裏主要着重於機載NED座標和機體座標的變換

其中爲了節省時間，並不需要驗證公式怎麼來的，直接當定理來用，直接上頗爲重要的概念是角速度的概念

這裏面着重兩點，第一頭上帶點的量此時不同於座標轉動量，第二此時是角速度(機體相對於機載NED)向機體座標係的轉化，

且向機體座標係的投影。

問題二：這些概念非常抽象，這樣轉化的目的，和作用？

三：其他知識

3.1 四元數的概念

四元數作爲一種數學衍生物，將空間的座標p，拓展成p=（v，0）的形式，實際上來源於四元數的定義,p=xi+yk+zj+w，其

中關於一個座標繞一個向量旋轉b的角度，那麼新的座標p'=qpq*,且q有固定的表達式。以下取自維基百科：

Definition：As a set, the quaternions...............

大意：四元數定義在四維空間上，三種運算：加，標量機和四元數乘機，四元數的由4個基本部分組成a1 +bi +cj + dk，簡寫

a +bi +cj + dk，這樣四元數的乘機可以由這些元素的組合，再利用分配律得到。

以下節選自百度百科：

四元数是简单的超复数。复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、

j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1，i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即

四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。

這裏我對第一個規則產生了興趣，爲什麼 i^2 = j^2 = k^2 = -1

實際上這也是四元數的偉大開端

Hamilton was on his way to theRoyal Irish Academy with his wife and as he was passing over the Royal Canal on the

Brougham Bridge he made a dramatic realization that he immediately carved into the stone of the bridge.hamilton

在石橋上刻的也就是上面這個等式

x ${\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}$

如果假設我們以第一個準則爲基礎，從-1=ijk到能推導處上面6個衍生公式。當然這些都是數學上的理解，未從空間上理解。四元

數作爲一個數學產物，有他的嚴格證明。至於無人機方面的使用，只是它的一個應用，我這裏推薦一篇文章，完整講述了四元數，而

且給出了證明和推導但是是英文版，有時間做個翻譯，寫的非常好。歐拉角有它固有的缺陷，不論怎麼樣的次序組合都有有萬向節死

鎖，也叫奇異現象。解決的方式就是使用四元數規避萬向節。下慢的鏈接很詳細，我自己也沒必要再推導了。一篇非常好的文章，雖

然是英文：https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/#Pure_Quaternions

問題三：關於上面網站的證明，最後的例子，繞着q的vector旋轉爲什麼結果是90度？作者只是一筆概括

而旋轉的角度該怎麼得出來呢？

答：我能立馬想到的證明方式是只要證明p此時和q構成的平面，於p‘和q構成的平面是垂直關係，則證明旋轉角度爲90’，另外一種方式就是證明

p和p'的向量，在過遠點的垂直於旋轉軸的平面的垂直投影的夾角就是旋轉角度。註：如果只是去計算p於 p'的夾角，此時得到不是旋轉角度。

四：算法截取

留空，以後解析pixhawk會填充

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