AVL树->图解2

给定一组数划平衡二叉树,结果是否唯一
单独的某个输入关键字序列如果没有删除，则自然结果唯一
如果没有限定关键字集合的次序，则结果不唯一，比如1、2、3、4
按1, 2, 3, 4输入次序构建的则右子树高度为2，根为2
按4, 3, 2, 1输入次序构建的则左子树高度为2，根为3

排序二叉树对于我们寻找无序序列中的元素的效率有了大大的提高。查找的最差情况是树的高度。这里就有问题了，将无序数列转化为

二叉排序树的时候，树的结构是非常依赖无序序列的顺序，这样会出现极端的情况。

【如图1】：

　　这样的一颗二叉排序树就是一颗比较极端的情况。我们在查找时候，效率依赖树的高度，所以不希望这样极端情况出现，而是希望元素比较均匀

的分布在根节点两端。

技术参考：fun4257.com/

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问题提出：

　　能不能有一种方法，使得我们的二叉排序树不依赖无序序列的顺序，也能使得我们得到的二叉排序树是比较均匀的分布。

引入：

　　平衡二叉树（Self-Balancing Binary Search Tree 或 Height-Balanced Binary Search Tree），是一种特殊的二叉排序树，其中每一个结点的

左子树和右子树的高度差至多等于1.

　　这里的平衡从名字中可以看出，Height-Balanced是高度平衡。

　　它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1.

　　若将二叉树上的结点的平衡因子BF（Balance Factor）定义为该节点的左子树的深度减去它的右子树的深度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只

可能是-1、0、1。否则就不是平衡二叉树。

　　上图图1中，就不是平衡二叉树。

　　以图1来看看各个结点的平衡因子。

【如下图2】：

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 技术参考：fun1404.com

如何构成平衡二叉树？

 

从转化为平衡二叉树的过程中可以提炼出转化的几个基本情况：

下图是在维基百科上摘录的：

 

可以看出调整的操作分两大类，前两个是一组，后两个是一组，每组之间是对称的。

前两个是对应上图1 2 中情况，

后两个是对应上图5 6 中情况。

 

分别以其中一种旋转为例，另一种对应的旋转对称。

 

单次左旋：对应上图1（左左）中情况

简单左右旋转代码：（只有一次）

//左边过高LLTREE_NODE* SingleRotateWithLeft(TREE_NODE* root){TREE_NODE* temp;temp =root->left;root->left = temp->right;temp->right = root;temp->height = Max(Height(temp->left),Height(temp->right))+1;root->height = Max(Height(root->left),Height(root->right))+1;return temp;}//右边高的时LTREE_NODE* SingleRotateWithRight(TREE_NODE* root){TREE_NODE* temp;temp = root->right;root->right = temp->left;temp->left = root;temp->height = Max(Height(temp->left),Height(temp->right))+1;root->height = Max(Height(root->left),Height(root->right))+1;return temp;}

两次旋转 对应图中3（左右）情况

 

需要旋转两次简单的左右旋转。基于上面代码就可以实现。

 

//左边过高LRTREE_NODE* DoubleRotateWithLeft(TREE_NODE* root){SingleRotateWithRight(root->left);return SingleRotateWithLeft(root);}TREE_NODE* DoubleRotateWithRight(TREE_NODE* root){SingleRotateWithLeft(root->right);SingleRotateWithRight(root);}

为了方便，AVL引入了BF（平衡因子）来调整树。只要出现非平衡树就调整，把不平衡消除最小的情况。