百度面试题——摸黑白球

上网查资料的时候偶然间看到一道百度的面试题，题意大概如下：

一个桶，100个黑球100个白球，每次取走两个球，如果同色则放入一个黑球，如果异色则放入一个白球。求最后只剩下一个黑球的概率。

思考过程：

一、首先排除了计算机模拟的思路，因为最后答案要求的概率，计算机模拟出的都是频率，所以这个方法肯定行不通，kill。

二、用算，当然肯定希望每次取的概率能够累加化简，做了一会儿，发现貌似不行，而且仔细一想，这不是数学题，不可能考排列组合数的计算，所以kill。

三、题目有特点，对称形式，黑球和白球的数量相同，取走放入方法相似（同色放黑球，异色放白球，初始时同色异色的概率相同），这样，答案只可能有三种：0、1、0.5，没谁了。

解题过程：

正推，分支太多，计算量太大。正难则反，逆推。如果最后要剩下一个黑球，只可能是取走两个同色球（2黑或2白），再放入一球（黑），所以，是不是所有的情况都可以化为这两种情况（2黑或2白）。待定。

寻找取球的本质，一共三种取球方式：

球的变化1.取走2白再放入1黑2白换1黑2.取走2黑再放入1黑取走1黑3.取走1黑1白再放入1白取走1黑

虽然球是这么多，但是肯定是化归成2白或2黑的形式，或者说最后肯定会化归成1黑的形式。

不能被球的数量干扰，试着去探索题目的本质，答案似乎很接近了。

正解：

如果是取2白，最后会全部变成黑球，最后只剩1黑；

如果是取2黑，最后会剩1黑，白球不变。接下来：一、如果取2白，最后全部变成黑球，最后只剩1黑；二、如果取1黑1白，等效于取走1黑，最后只剩黑球，最后只剩1黑。

如果是取1黑1白，再放入1白，等效于取走1黑，最后只剩白球。只能全部取白球，最后全部变成黑球；或者1黑1白地取，最后也是化归为全白，最后只剩2白，最后只剩1黑。

所以概率为1。

推广：

根据化归的思路，很容易推广至一般情况：

如果白球的个数是奇数（黑球数量同白球），则只剩1白球；

如果白球的个数是偶数（黑球数量同白球），则只剩1黑球。