Newman–Penrose formalism

来源：互联网发布：淘宝有聊天壁纸设置吗编辑：程序博客网时间：2024/05/02 04:18

复习

常见的计算关系回顾 这里我们设X=eixi,ω=ωie∗i
xa;bωa;bxij;kωij;k=xa,b+Γabcxc=ωa,b−Γcabωc=xij,k+Γilkxlj+Γjlkxil=ωij,k−Γlikωlj−Γljkωil
通常的我们记 $T a b; c : = (\nabla e c T) a b$ 而交换协变导数会产生黎曼曲率张量： $ω a; b c - ω a; c b = R d a b c ω d$ $x a; b c - x a c b = - R a d b c x d$
- 协变微分 设θ=∑i,jθi1..irj1..jsei1⊗...eir..⊗e∗j1..⊗e∗js是(r,s)型张量（就是有r个孔放置一形式，s个孔放置向量）{wi}ri=1 是一形式，{Xi}si=1是向量，定义协变微分∇θ $\nabla θ (w 1 . . w r; X 1 . . . X s, X) = \nabla X θ (w 1 . . w r; X 1 . . . X s)$ 写成分量： $\nabla θ = \sum i, j θ i 1 . . i r j 1 . . j s; k e i 1 \otimes . . . e i r . . \otimes e * j 1 . . \otimes e * j s \otimes e * k$ 协变微分的系数计算： $θ i 1 . . i r j 1 . . j s; k = θ i 1 . . i r j 1 . . j s, k + \sum p = 1 r θ . . h . . Γ i p k h - \sum q = 1 s θ . . h . . Γ h k j q$
Christoffel symbols of the first kind
$Γ c a b = 1 2 (g c a, b + g c b, a - g a b, c) = g c d Γ d a b$
Christoffel symbols of the second kind $\nabla i e j = Γ k i j e k$ 练习：利用0=gik;l=gik,l−gimΓmkl−gmkΓmil交换指标求和推导出 Γikl=12gim(gmk,l+gml,k−gkl,m)
关联系数Connection coefficients in a non holonomic basis 在non holonomic basis{ui}的情况下 $\nabla u i u j = ω k i j u k$ 这里的ωikl是关联系数： $ω i k l = 1 2 g i m (g m k, l + g m l, k - g k l, m + C m k l + C m l k - C k l m)$ 这里的Cklm=gmpCpkl是交换系数，[uk,ul]=Cmklum
Ricci 旋转系数 选择标准正交基Xi,gab=ηab=⟨Xa,Xb⟩,gmk,l=0 $ω i k l = 1 2 g i m (C m k l + C m l k - C k l m)$ ωabc=ωdbcηad,(在老钱的书里面会写成γijk)被称为Ricci 旋转系数，其中ωabc=−ωbac

Null tetrad and sign convention

NP包含了两个实的null 向量{l,n} 和两个复向量{m,m¯} $l a l a = n a n a = m a m a = m a ¯ m a ¯ = 0 l a n a = l a n a = - 1; m a m a ¯ = 1 = m a m a ¯ l a m a = l a m a ¯ = n a m a = n a m a ¯ = 0$
与度量gab的关系 $g a b = - l a n b - n a l b + m a m ¯ b + m ¯ a m b$
四个方向协变导数 $D : = \nabla l = l a \nabla a$ $Δ : = \nabla n = n a \nabla a$ $δ : = \nabla m = m a \nabla a$ $δ ¯ : = \nabla m ¯ = m ¯ a \nabla a$
12个自旋系数 $κ : = - m a D l a = - m a l b \nabla b l a$ $λ : = m ¯ a δ ¯ n a = m ¯ a m ¯ b \nabla b n a$ $α : = - 1 / 2 (n a m ¯ b \nabla b l a - m ¯ a m ¯ b \nabla a m a)$
运输方程(16个)

D l a = (ϵ + ϵ ¯) l a - κ ¯ m ¯ a - κ m ¯ a

练习1：推导这个

交换子(4个) $Δ D - D Δ = (γ + γ ¯) D + （ ϵ + ϵ ¯ ） Δ - (τ ¯ + π) δ - (τ + π ¯) δ ¯$ 练习2：推导
Weyl–NP and Ricci–NP scalars 10个独立的Weyl 张量的分量可以写成 5个复的Weyl-NP 分量
$Ψ 0 : = C a b c d l a m b l c m d$ $Ψ 1 : = C a b c d l a n b l c m d$ 练习3：写出Ψ2,Ψ3,Ψ4
10个独立的Ricci 张量可以写成4个实数量{Φ00,Φ11,Φ22,Λ} 以及3个复数量{Φ10,Φ20,Φ21} $Φ 00 = 1 2 R a b l a l b$ $Λ = R 24$ $Φ 10 = 1 2 R a b l a m ¯ b = Φ ¯ 01$
练习4：写出剩余的
Einstein–Maxwell–NP equations复习一下符号
The six independent components of the Faraday-Maxwell 2-form (i.e. the electromagnetic field strength tensor)Fab,Fabcan be encoded into three complex Maxwell-NP scalars.
$ϕ 0 : ϕ 1 : ϕ 2 : = F a b l a m b = 1 2 F a b (l a n b + m ¯ a m b) = F a b m ¯ a n b$ 因此Maxwell 方程 ${d F d * F = 0 = 0$ 会写成 $D ϕ 1 - δ ¯ ϕ 0 = (π - 2 α) ϕ 0 + 2 ρ ϕ 1 - κ ϕ 2$ 练习5：写出剩余的
练习6：用Ricci-NP 数量写出Maxwell方程 $Φ i j = 2 ϕ i ϕ ¯ j$

习题解答

LiangBook

类光标架null tetrad 设{ei}是单位正交基,定义:{m,m¯,l,k}={ε1,ε2,ε3,ε4} $m : = 1 2 \sqrt [e 1 - i e 2]$ $m ¯ : = 1 2 \sqrt [e 1 + i e 2]$ $l : = 1 2 \sqrt [e 0 - e 3]$ $k : = 1 2 \sqrt [e 0 + e 3]$
练习1证明 $m a m a = 0 ， m a m ¯ a = 1, l a k a = - 1$ 从而有 $g 12 = g 21 = 1, g 34 = g 43 = - 1$
联络系数 γkij 设{ei}是任意的基底（不一定是坐标场） $\nabla e i e j = γ k i j e k$ 也就是说 $γ k i j = e * k (\nabla e i e j)$
联络1形式 wij $（ w i j ） a : = - γ i j k e * k$ 注意这里的下标a是抽象指标，表明这里有一个孔，可以放向量，不要理解成第a个分量.以下都是这样
练习2 证明：
$(w i j) a = - e * i (\nabla a e j) = (\nabla a e * i) e j$
Cartan 结构方程
$d e * i = - e * j \land (w i j) a (Cartan 1)$ $(R i j) a b = d w i j + w k j \land w i k (Catan 2)$ 其中Rj♠♠i=Rd♠♠c(ej)c(e∗i)d,这里的c,d都是抽象指标，不要理解成求和，就只是把对应的向量ej放到c这个孔里，把e∗i放到d这个孔里。
刚性标架 $\nabla a g i j = 0$
练习3 证明对于刚性标架： $w i j a = e * i (\nabla a e j)$ 和 $w i j a = - w j i a$
Ricci旋转系数ωijk $w i j k : = w i j a (e k) a$ 注意：这里表示把向量ek放到张量的孔a里面，不是求和。
NP-Ricci旋转系数ωijk $(w i j) a = ε c j \nabla a ε i c = ? (\nabla a ε * i) ε j$ $w i j k = (\nabla k i *) (j)$
练习4 证明将wijk的下标1，2互换而保持3，4不变，会得到 $w 132 = w ¯ 234, w 342 = w ¯ 341$
练习5 写出NP 版本的Cartan 结构方程

习题解答

练习1答案 省略
练习2答案 ∇aej=γkijek⊗e∗i,∇ae∗k=−γkije∗i⊗e∗j 那么： $- e * i (\nabla a e j) = - e * i (γ i k j e i \otimes e * k) = - γ i j k e * k = (ω i j) a$ $(\nabla a e * i) (e j) = - (γ i k j e * j \otimes e * k) (e j) = - γ i j k e * k = (ω i j) a$
练习3答案 $ω i j a = e * i (\nabla a e j) = - (\nabla a e * i) e j = - (\nabla a g i k e * k) e j = - g i k (\nabla a e * k) e j$ 我的疑惑是： $g i k (\nabla a e * k) e j = g i k ω k j a : = ω j i a$
练习4答案 $ω ¯ 134 = \nabla 4 ¯ (3 ¯) b (1 ¯) b$ 注意：｛1，2，3，4｝:=m,m¯,l,k所以会有1¯=2,2¯=1,3¯=3,4¯=4
$ω ¯ 134 = \nabla 4 ¯ (3 ¯) b (1 ¯) b = ω 234$

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