【动态规划】三种基本背包问题

动态规划 是对解最优化问题的一种途径 它往往是针对一种最优化问题 根据问题的不同性质 确定不同的设计方法
因为这篇文章我想说点关于背包问题的事情 所以不再过多介绍动态规划
背包问题 是动态规划中的一个经典题型 在联赛中也经常出现 其基本问题主要分为01 完全 多重 三种
下面就通过程序与例题分别来说一下三种基本问题

01背包

有n件物品和容量为m的背包 给出i件物品的重量以及价值 求解让装入背包的物品重量不超过背包容量 且价值最大
特点 这是最简单的背包问题 特点是每个物品只有一件供你选择放还是不放

对于这个问题一般有两种解法 下面分别来介绍一下

① 二维解法
设f[i][j]表示前i件物品 总重量不超过j的最大价值 可得出状态转移方程
f[i][j]=max{f[i-1][j-a[i]]+b[i],f[i-1][j]}
代码如下

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int m,n;    cin>>n>>m;    int a[50001],b[50001];    int f[5001][5001];    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];    for(int i=1;i<=n;i++)    for(int j=m;j>0;j--){        if(a[i]<=j)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-a[i]]+b[i]);        else f[i][j]=f[i-1][j];    }    cout<<f[n][m]<<endl; //最优解    //COYG}

虽然“原理”没有错 但是f数组开的太大 (一般应该5000就顶头了)
在一些情况下 题目的数据会很大 因此f数组不开到一定程度是没有办法ac的 那么该怎么办呢 于是

②一维解法
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程

fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}

代码如下

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int n,m;    cin>>n>>m;    int a[50001],b[50001];              for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i]>>b[i];    int f[50001]={0};    for(int i=1;i<=n;i++){               for(int j=m;j>=a[i];j--)            if(f[j-a[i]]+b[i]>f[j])f[j]=f[j-a[i]]+b[i];      }    cout<<f[m]<<endl;   //最优解    //COYG} 

这样用一维数组代替二维数组就解决了很多问题 所以用一维数组解决01背包是很重要的

01背包的例题有：[USACO07DEC]手链Charm Bracelet(洛谷搜索 P2871) 采药(洛谷搜索 P1048) [Noip普及组2001]装箱问题(洛谷搜索 P1049)

完全背包

有n件物品和容量为m的背包 给出i件物品的重量以及价值 求解让装入背包的物品重量不超过背包容量 且价值最大
特点 题干看似与01一样 但它的特点是每个物品可以无限选用

其实这个题也可以写二维和一维两种 但之前已经说过了二维的有一定局限 所以在此之介绍一维
一维
设f[j]表示重量不超过j公斤的最大价值 可得出状态转移方程

fj=maxj{fj,f[j−a[i]]+b[i]}

代码如下

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int n,m;    cin>>n>>m;    int a[50001],b[50001];    int f[50001]={0};    for(int i=1;i<=n;i++){        cin>>a[i]>>b[i];    }    for(int i=1;i<=n;i++)    for(int j=a[i];j<=m;j++){        if(f[j-a[i]]+b[i]>f[j])f[j]=f[j-a[i]]+b[i];    }    cout<<f[m]<<endl;//最优解    //COYG}

大家有没有感觉代码很熟悉？每错 一维完全背包的代码与一维01背包的代码只在循环上有些差别 而且状态转移方程也一样

例题可以百度搜索收益(也叫投资)
算了好人做到底我还是ctrl+v一下题目吧
【题目描述】收益 (POJ 2063)
“建太空梯进入太空要1兆亿？”魔法学院的院长瞪大了眼睛。
“这只是基础设施的费用，后期还要……”墨老师掰着手指算。
“哎呀，现在地主也很穷啊，学院的钱批下来就这么多，你想办法用这笔钱在债券市场上获得最大收益吧。”院长皱着眉头。
简单来说，就是你有一笔钱，你要将这笔钱去投资债券，现在有d种债券，每种债券都有一个价值和年收益，债券的价值是1000的倍数，问你如何投资在n年后的获得最大收益。
【输入格式】
第一个为一个整数M，表示有M组数据。
每组数据第一行有两个整数，表示初始资金(不超过50000)和年数n。
每组数据第二行为一个整数d(1 ≤ d≤10)，表示债券种类。
随后d行每行有两个整数，表示该债券的价值和年收益。年收益不会超过债券价值的10%。
所有数据不超过整型取值范围。
【输出格式】
每组数据，输出n年后获得的最大收益。
【输入样例】
1
10000 4
2
4000 400
3000 250
【输出样例】
14050

贴一下我这个题的代码

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int main(){    int m,y,n,d,ans=0,a[100001],b[100001];    int f[100001]={0};     cin>>m;    while(m--){        cin>>y>>n;        cin>>d;        for(int i=1;i<=d;i++){            cin>>a[i]>>b[i];        }        for(int o=1;o<=n;o++){        for(int i=1;i<=d;i++)        for(int j=a[i];j<=y;j++){            f[j]=max(f[j-a[i]]+b[i],f[j]);        }        y+=f[y]; //每次都要累计        memset(f,0,sizeof(f));        }        cout<<y<<endl;    }    return 0;} //小蒟蒻代码丑//COYG

多重背包

有n件物品和容量为m的背包 给出i件物品的重量以及价值 还有数量 求解让装入背包的物品重量不超过背包容量 且价值最大
特点 它与完全背包有类似点 特点是每个物品都有了一定的数量

状态转移方程为：

f[j]=max{f[j],f[j−k∗a[i]]+k∗b[i]}

【输入样例】
8 2
2 100 4
4 100 2
【输出样例】
400

代码如下

#include<iostream>using namespace std;int main(){    int m,n;    cin>>m>>n;    int a[10001],b[10001],c[10001];    for(int i=1;i<=n;i++){        cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];    }    int f[10001];    for(int i=1;i<=n;i++)    for(int j=m;j>=0;j--)    for(int k=0;k<=c[i];k++){        if(j-k*a[i]<0)break;        f[j]=max(f[j],f[j-k*a[i]]+k*b[i]);    }    cout<<f[m]<<endl;//最优解}//COYG

这是一种简单的朴素算法 多重背包有常见的二进制优化转为01背包 以后会提到

这就是常见的三种基本背包问题 之后将会借助 【Noip普及组2001】装箱问题
来展现一下动态规划与贪心算法的联系

文章写的不好，继续努力！！
//COYG