树链剖分 — 轻重边路径剖分

    “在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。
树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。
        记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的重链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲，son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（姑且称为重儿子），w[v]表示v与其父亲节点的连边（姑且称为v的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成原问题中的操作。
        重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。
        轻儿子：v的其它子节点。
        重边：点v与其重儿子的连边。
        轻边：点v与其轻儿子的连边。
        重链：由重边连成的路径。
        轻链：轻边。

        剖分后的树有如下性质：
        性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；

        性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

        首先我们有一颗树每个点（或者边）有权值，我们要做的就是询问两个点之间路径上各点（边）权值的最大、最小，权值和（就是线段树能干的），然后我们还要支持在线更改任意节点（边）的权值。

　　我们要做的是轻重链剖分，首先我们看几个定义

　　size：和SBT里的一样，size[i]为以该点为根节点的子树一共有几个节点。

　　重儿子：一个节点当不为叶子节点的时候有且只有一个重儿子，重儿子为该点的儿子中size最大的，有多个最大时任选一个。

　　重链：由根节点开始，每个点每次都访问自己的重儿子，一直访问到叶子节点，就组成了一条重链

　　那么对于一个点的非重儿子来说，以他为根节点，可以重新访问出一条重链

如图所示，用红色的线画出的为重链，其中6号点自己为一条重链，那么对于每条重链，我们需要记下他的顶标top，就是该重链中深度最小的节点的标号

　　 比如链1-3-4-9-10，的top为1，链2-8的top为2。

　　重链几个明显的性质就是互不重合且所有重链覆盖所有点，重链之间由一条不在重链上的边（我们称作轻边）连接，然后对于每一条重链来说，我们定义他的深度，顶标为根节点的重链的深度为1，顶标的父亲在深度为x的重链上，那么该重链深度为x+1，如图链1-3-4-9-10的深度为1，链2-8，链5-7的深度为2，链6的深度为3。 

那么我们首先DFS，可以求出每个点的size，然后再深搜一遍可得到每个点的top，和处理出每一条链。

有了所有的重链，覆盖每一个点，然后我们要处理的问题是两点之间的最值等问题。

　　有些像线段树，假设我们需要求一条重链上的最大值，那么我们需要将重链存进线段树，且重链上的所有点的编号是连续的（区间），那么我们要对所有的点以深搜序重新编号（dfs进行树链剖分的时候顺便标记一下就好了），那么我们可以用线段树来存树上点的值（边的权值也一样，可以将边下放到点 **重要思想**），这样对于在同一条重链上的点我们就可以在logn的时间里求出值了，然后对于不同链上的点，我们先给他们升到同一深度上的链，同时更新答案，然后做就好了（上升到同一深度上的重链这个过程有点类似于LCA倍增，noip2013 Day1 T3 火车运输，其实这道题用树链剖分的水题）至于每个点的权值修改就是线段树的事了。

算法实现：

       我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。
      dfs_1：把fa、dep、siz、son求出来，比较简单，略过。

       dfs_2：

       ⒈对于v，当son[v]存在（即v不是叶子节点）时，显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记w[son[v]] = totw+1，totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行dfs_2(son[v])；

       ⒉对于v的各个轻儿子u，显然有top[u] = u，并且w[u] = totw+1，进行dfs_2过程。
       这就求出了top和w。
       将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。
       修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
       一般人需要先求LCA，然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。
       记f1 = top[u]，f2 = top[v]。
       当f1 <> f2时：不妨设dep[f1] >= dep[f2]，那么就更新u到f1的父边的权值(logn)，并使u = fa[f1]。
       当f1 = f2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成；
       重复上述过程，直到修改完成。

       求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。
       就这样，原问题就解决了。鉴于鄙人语言表达能力有限，咱画图来看看：

       如图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。

     当要修改11到10的路径时。
     第一次迭代：u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此时dep[f1] < dep[f2]，因此修改线段树中的5号点，v = 4, f2 = 1；
     第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中10--11号点。u = 2，f1 = 2；
     第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中9号点。u = 1，f1 = 1；
     第四次迭代：f1 = f2且u = v，修改结束。

    **数据规模大时，递归可能会爆栈，而非递归dfs会很麻烦，所以可将两个dfs改为宽搜+循环。即先宽搜求出fa、dep，然后逆序循环求出siz、son，再顺序循环求出top和w。

练手题目：spoj375。

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>#include <string.h>using namespace std;const int maxn = 100010;struct Tedge{int b, next;} e[maxn*2];     // 存树上的边int tree[maxn];  // 线段树， 存重链int CNT, n, tot, edge, root, a, b, c;  // tot 记录线段树(区间上)点的数量int d[maxn][3];      // d[][ from|to|weight ] d[][]数组存储n-1条边的信息//  first[] 每个点的邻边链式前向星存储,  dep[u]记录在以root为根时，顶点在树上的深度//  w[u]表示u在重链线段树上的序号,       top[u]记录u所在重链的最小顶点标号//son[]记录每个顶点的重儿子编号,       siz[u]顶点u的孩子节点数, fa[]记录每个顶点的父亲编号int first[maxn], dep[maxn], w[maxn], fa[maxn], top[maxn], son[maxn], siz[maxn];char ch[10];void insert(int a, int b, int c)    // 插入边，建树{     e[++edge].b = b;     e[edge].next = first[a];     first[a] = edge;}void dfs(int v){     siz[v] = 1,son[v] = 0;     for (int i = first[v]; i > 0; i = e[i].next)         if (e[i].b != fa[v])         {             fa[e[i].b] = v;             dep[e[i].b] = dep[v]+1;             dfs(e[i].b);             if (siz[e[i].b] > siz[son[v]]) son[v] = e[i].b;             siz[v] += siz[e[i].b];         }}void build_tree(int v, int tp){     w[v] = ++tot, top[v] = tp;     if (son[v] != 0)                // 非叶子节点必然含有重儿子，为保证重链在线段树(区间)上标号连续  build_tree(son[v], top[v]); // 先递归建立重儿子       for ( int i = first[v]; i > 0; i = e[i].next)           if (e[i].b != son[v] && e[i].b != fa[v]) // 点的非重儿子，以他为根节点，可以重新访问出一条重链               build_tree(e[i].b, e[i].b);}void update(int root, int left, int right, int pos, int x){ if (pos > right || left > pos) return; if (left == right) { tree[root] = x;return;}int mid = (left + right) / 2, ls=root*2, rs=ls+1;update(ls, left, mid, pos, x);update(rs, mid+1, right, pos, x);tree[root] = max(tree[ls], tree[rs]);}int maxi(int root, int left, int right, int l, int r){     if (l > right || r < left) return 0;     if (l <= left && right <= r) return tree[root];     int mid = (left + right) / 2, ls = root * 2, rs = ls + 1;     return max(maxi(ls, left, mid, l, r), maxi(rs, mid+1, right, l, r));}inline int find(int va, int vb){     int f1 = top[va], f2 = top[vb], tmp = 0;     while (f1 != f2)     {           if (dep[f1] < dep[f2])           {       swap(f1, f2);   swap(va, vb);   }           tmp = max(tmp, maxi(1, 1, tot, w[f1], w[va]));           va = fa[f1];   f1 = top[va];     }     if (va == vb) return tmp;     if (dep[va] > dep[vb]) swap(va, vb);     return max(tmp, maxi(1, 1, tot, w[son[va]], w[vb]));  // 由于树上边的权值是下放到点上，线段树son[va]->vb}void init(){     scanf("%d", &n);     root = (n + 1) / 2;    // 将一棵无根树转为有根树，其中取中间编号的节点为根 root     fa[root] = tot = dep[root] = edge = 0;     memset(siz, 0, sizeof(siz));     memset(first, 0, sizeof(first));     memset(tree, 0, sizeof(tree));     for (int i = 1; i < n; i++)     {         scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);         d[i][0] = a; d[i][1] = b; d[i][2] = c;         insert(a, b, c);         insert(b, a, c);     }     dfs(root);     build_tree(root, root);    // 建立重链的线段树     for (int i = 1; i < n; i++)     {         if (dep[d[i][0]] > dep[d[i][1]])  // 调整树上 每条边两端顶点序号 保证边 a->b 有a<b  swap(d[i][0], d[i][1]);         update(1, 1, tot, w[d[i][1]], d[i][2]);  // 初始化树中的每一条边在重链线段树上的区间初值     }}void work(){ scanf("%s",ch); for (; ch[0] != 'D'; scanf("%s",ch)) {     scanf("%d%d", &a, &b);     if (ch[0] == 'Q')  printf("%d\n", find(a, b));     else  update(1, 1, tot, w[d[a][1]], b); }}int main(){    freopen("data.txt","r",stdin);    freopen("data.out","w",stdout);    init();    work();    return 0;}

线段树，好久不写，难调！！！