Direct变换

来源：互联网发布：悉尼大学回国就业知乎编辑：程序博客网时间：2024/05/19 13:24

Objectives
1、理解如何用矩阵去表达线性(linear)和仿射(affine)变换。
2、学习坐标系变换，如缩放、旋转。
3、发现几个变换矩阵可以通过矩阵乘法转换成一个变换网络。
4、发现如何转换坐标系从一个坐标系到另外一个。怎么去用矩阵描述这样的坐标系变换。
5、熟悉DirectXMath库提供的函数来构造变换矩阵。

线性变换

考虑一个函数对于τ(v)，若其满足以下：

τ (u + v) = τ (u) + τ (v) τ (k u) = k τ (u)

那么我们说这个函数是一个线性变换。

矩阵拓展
给定一个向量u=(x,y,z),我们可以写成这样的形式。

u = (x, y, z) = x i + y j + z k = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1)

其中

i,j,k为标准基向量(standard basis vectors)。
故，我们有这样的结论：

τ (u) = τ (x i + y j + z k) = x τ (i) + y τ (j) + z τ (k)

所以，我们可以写成向量-矩阵乘法的形式。

τ (u) = x τ (i) + y τ (j) + z τ (k) = u A = u ⎡ ⎣ ⎢ \leftarrow τ (i) \to \leftarrow τ (j) \to \leftarrow τ (k) \to ⎤ ⎦ ⎥ = [x, y, z] ⎡ ⎣ ⎢ A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ⎤ ⎦ ⎥

我们可以说：矩阵A是线性变换

τ的矩阵表达。

缩放
我们定义缩放像这样：

S (x, y, z) = (s x x, s y y, s z z)

可以很容易的看出来，

S是线性的。所以我们把他写成向量-矩阵相乘的形式。

S (i) = (s x, 0, 0) S (j) = (0, s y, 0) S (k) = (0, 0, s z) ∴ S = ⎡ ⎣ ⎢ s x 00 0 s y 0 00 s y ⎤ ⎦ ⎥

旋转
图片截自龙书
从上图可以推导出：

R n (v ⊥) = c o s θ v ⊥ + s i n θ (n \times v) R n (v) = p r o j n (v) + R n (v ⊥) = c o s θ v + (1 - c o s θ) (n \cdot v) n + s i n θ (n \times v)

接下来就是将其转化为线性变换矩阵模式，将单位向量代入即可。
令

c=cosθ,s=sinθ得出

R n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ c + (1 - c) x 2 (1 - c) x y - s z (1 - c) x z + s y (1 - c) x y + s z c + (1 - c) y 2 (1 - c) y z - s x (1 - c) x z - s y (1 - c) y z + s x c + (1 - c) z 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

可以发现旋转矩阵所有行向量的长度为1，且相互正交。
所以他的逆矩阵就等于转置矩阵。

R - 1 n = R T n

这对于计算机的运算来说是非常效率的。

仿射变换

齐次坐标系(Homogeneous Coordinates)
因为我们对于向量只能表示方向或点，无法表达位移(translation)。换句话说，向量在进行位移时，不应该被改变。而齐次坐标系提供了一个方便的表达方式，来让我们同时表达向量和点。利用齐次坐标，我们使用4次来区分：
1、(x,y,z,0)表达向量
2、(x,y,z,1)表达点

定义和矩阵表达
一个线性变换不能表达我们所有的变换。因此，我们增加一个向量：

a (u) = τ (u) + b

如果我们增加齐次坐标

w=1，我们可以写的更方便，如：

[x, y, z, 1] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ A 11 A 21 A 31 b x A 12 A 22 A 32 b y A 13 A 23 A 33 b z 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = [x', y', z', 1]

则这个4x4的矩阵被称为仿射变换的矩阵表达形式。

位移

T = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 100 b x 010 b y 001 b z 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ T - 1 = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 100 - b x 010 - b y 001 - b z 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

仿射矩阵下的缩放和旋转
如果b=0，则仿射变换可以归纳为线性变换。
缩放和旋转的4x4仿射矩阵表达：

S = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ s x 000 0 s y 00 00 s z 0 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ R n = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ c + (1 - c) x 2 (1 - c) x y - s z (1 - c) x z + s y 0 (1 - c) x y + s z c + (1 - c) y 2 (1 - c) y z - s x 0 (1 - c) x z - s y (1 - c) y z + s x c + (1 - c) z 2 0 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

坐标系之间的转换
对于点：
这里写图片描述

p B = x u B + y v B + z w B + Q B

对于向量：

p B = x u B + y v B + z w B

那么在齐次坐标系中，我们可以将他们表达在一起：

(x', y', z', w) = x u B + y v B + z w B + w Q B

如果

w=0，则为向量的表达形式，否则为点。

[x', y', z', w] = [x, y, z, w] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ \leftarrow u B \to \leftarrow v B \to \leftarrow w B \to \leftarrow Q B \to ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = [x, y, z, w] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ u x v x w x Q x u y v y w y Q y u z v z w z Q z 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x u B + y v B + z w B + w Q B

Direct Math Transformation Functions

XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScaling(float ScaleX,float ScaleY,float ScaleZ);//构造一个缩放矩阵XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixScalingFromVector(FXMVECTOR Scale); // Scaling factors (sx,sy,sz)XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationX(float Angle); //构造一个绕X轴旋转矩阵XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixRotationAxis(FXMVECTOR Axis, float Angle);//构造一个绕Axis旋转Angle的矩阵XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslation(float OffsetX,float OffsetY,float OffsetZ);//构造一个平移XMMATRIX XM_CALLCONV XMMatrixTranslationFromVector(FXMVECTOR Offset);XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformCoord(FXMVECTOR V, CXMMATRIX M); //V_w = 1;XMVECTOR XM_CALLCONV XMVector3TransformNormal(FXMVECTOR V, CXMMATRIX M);//V_w = 0;

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