Sommerfeld radiation condition

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Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868–1951)

复习

curl 一个向量场的Curl 描述了一个三维的向量场F的无穷小旋转（infinitesimal rotation），有时也用∇×F,rotF来表示。直观上，如果向量场表示流体的速度，那么curlF描述的就是循环密度（circulation density of the fluid）,curlF=0的场被称为无旋的。分析上的定义 $(\nabla \times F) \cdot n^: = lim A \to 0 1 | A | \oint \partial A F \cdot d r$ 直观上，举个简单例子:取 F=yx^−xy^，它的旋只有z^方向有分量，可以轻易算出来2πr2πr2=2,直观上就是单位面积上的动量。在笛卡尔坐标系下，设F=[Fx,Fy,Fz]则
$\nabla \times F = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ i^\partial x F x j^\partial y F y k^\partial z F z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣$ 在一般坐标下面 $(\nabla \times F) k = ε k l m \nabla l F m$ 其中，ε是Levi-Civita tensor,∇是协变导数。
常见计算关系 $\nabla \times (v \times F) = (\nabla \cdot F + f \cdot F) v - (\nabla \cdot v + v \cdot \nabla) F (K1)$ $\nabla \times (\nabla \times F) = \nabla (\nabla \cdot F) - \nabla 2 F (K2)$ $\nabla \times (\nabla φ) = 0 (K3)$ $\nabla \times (φ F) = \nabla φ \times F + φ \nabla \times F (K4)$

辐射条件定义

Helmholtz方程
$(\nabla 2 + k 2) u = - f i n R n (1)$ 其中n=2,3代表空间的维数;f是具有紧致支集的函数，代表有界能量源;k>0是常数，称为波数。
Sommerfeld 辐射条件
$lim | x | \to \infty | x | n - 1 2 (\partial \partial | x | - i k) u (x) = 0 (2)$ 这里假设时间调和场是 e−iwtu ;辐射条件就是用来找到方程的唯一解。
辐射解radiating
如果方程（1）的解u满足条件（2），就称u是辐射的（radiating）

简单例子

考虑

f = δ (x - x 0)

此时，方程有无数解，比如像：

u = c u + + (1 - c) u -

这里的

u (x) \pm = e \pm i k | x - x 0 | 4 π | x - x 0 |

练习：推导出上述解; 但只有

u+符合Sommerfeld 边界条件，他代表从点

x0发出的辐射场，而其他解都是非物理的。比如

u−可以解释成从无穷远处来的能量，最后Sinking 在

x0处。

关于赫姆霍兹方程

动机
考虑波动方程
$（ \nabla 2 - 1 c 2 \partial 2 \partial t 2 ） u (r, t) = 0$ 用分离变量法u(r,t)=A(r)T(t) 代入原方程可得：
$\nabla 2 A ( r ) A ( r ) = 1 T ( t ) c 2 \partial 2 \partial t 2 T (t)$ 观察方程两边，左边只依赖于r,右边只依赖于t,所以只有在左右两边都等于常数的才会成立
$\nabla 2 A ( r ) A ( r ) = 1 T ( t ) c 2 d 2 d t 2 T (t) = - k 2$ 所以会得到赫姆霍兹方程 $(Δ + k 2) A (r) = 0 (1)$ $(d 2 d t 2 + c 2 k 2) T (t) = 0 (2)$
注：w:=ck称之为角频率。
分离变量法解赫姆霍兹方程 考虑半径为r=a的圆盘上的情况，引进极坐标(r,θ)
,施加边界条件A|r=a=0 可得
${A r r + 1 r A r + 1 r 2 A θ θ + k 2 A A (a, θ) = 0 = 0$ 分离变量 $A (r, θ) = R (r) Θ (θ)$
得到 ${Θ'' + n 2 Θ r 2 R'' + r R' + r 2 k 2 R - n 2 R = 0 = 0$
近轴近似 将复的振幅写成A(r)=u(r)eikz, 定义Δ⊥:=∂2∂x2+∂2∂y2, 在满足条件 $| \partial 2 u \partial z 2 | ≪ | k \partial u \partial z | (轴不等式)$ 时，u接近解以下方程的解 $Δ ⊥ u + 2 i k \partial u \partial z = 0 (*)$ 将A(r)=u(r)eikz带入Helmholtz 方程可得： $(\partial 2 \partial x 2 + \partial 2 \partial y 2) u e i k z + \partial 2 \partial z 2 u e i k z + 2 (\partial \partial z u) i k e i k z = 0$ 由于轴不等式,可以将∂2∂z2ueikz忽略不计，再将u=Ae−ikz带回（*）可得关于A(r)的近轴方程 $Δ ⊥ A + 2 i k \partial A \partial z = 0 (**)$
非齐次赫姆霍兹方程 $(\nabla 2 + k 2) u = - f i n R n$ 为了使方程有唯一解，我们需要在无穷远处施加边界条件——Sommerfeld 辐射条件： $lim r \to \infty r n - 1 2 (\partial \partial r - i k) A (r x^) = 0$ 这里的|x^|=1；在Sommerfeld边界条件下，我们可以用卷积的办法给出方程的解： $A (x) = (G * f) (x) = \int R n G (x - y) f (y) d y$ 这里的G是方程的Green 函数。
练习：考虑f=δ(x),推导出G(x)=ieik|x|2k

Maxwell 方程的辐射条件 ^{Inverse Acoustic and ElectromagneticScattering Theory , Chapter6,p157}

本节考虑真空Maxwell方程 ${c u r l E - i k H c u r l H + i k E = 0 = 0 (1)$ 这里k是波数，k2=(ε+iσw)μw2
定理6.2 Stratton-Chu公式 设D 是C2的有界区域，v是∂D的单位外法向量，设E,H∈C1(D)∩C(D¯)是Maxwell 方程（1）在区域D里面的解，则它们满足Stratton−Chu公式 $E (x) = - c u r l \int \partial D v (y) \times E (y) Φ (x, y) d s (y) + 1 i k c u r l c u r l \int \partial D v (y) \times H (y) Φ (x, y) d s (y)$ $H (x) = - c u r l \int \partial D v (y) \times H (y) Φ (x, y) d s (y) - 1 i k c u r l c u r l \int \partial D v (y) \times E (y) Φ (x, y) d s (y)$
定理6.4 设E,H是（1）的解，则E,H是无源场（divE=0,divH=0,比如说磁场，进多少出多少），且满足Helmholtz 方程 $Δ E + k 2 E = 0$ $Δ H + k 2 H = 0$ 反过来，设E(or H)是Helmholtz 方程的解，且divE=0(or divH=0),那么E,H:=curlEik(or H,E:=−curlHik) 满足Maxwell 方程。
Silver-Muller辐射条件 $lim r \to \infty (H \times x - r E) = 0 (2)$ 或者 $lim r \to \infty (E \times x - r H) = 0$ 这里的r=|x|
辐射解 满足条件（2）的Maxwell方程解被称为辐射。
定理6.6 Stratton-Chu公式 设有界区域D是某个无界C2区域的开补集，v是∂D单位外法向量。E,H∈C1(R3∖D¯)∩C(R3∖D) 是Maxwell 方程在R3∖D¯ 上的辐射解，则有Stratton-Chu公式： $E (x) = c u r l \int \partial D v (y) \times E (y) Φ (x, y) d s (y) - 1 i k c u r l c u r l \int \partial D v (y) \times H (y) Φ (x, y) d s (y)$ $H (x) = c u r l \int \partial D v (y) \times H (y) Φ (x, y) d s (y) + 1 i k c u r l c u r l \int \partial D v (y) \times E (y) Φ (x, y) d s (y)$

1 0

Sommerfeld radiation condition

复习

辐射条件定义

简单例子

关于赫姆霍兹方程

Maxwell 方程的辐射条件 Inverse Acoustic and ElectromagneticScattering Theory , Chapter6,p157

Maxwell 方程的辐射条件 ^{Inverse Acoustic and ElectromagneticScattering Theory , Chapter6,p157}