二叉索引树（树状数组）

二叉索引树 （Binary Indexed Tree,BIT)

      动态连续和查询问题，给定一个n个元素的数组A1，A2，..........An。支持以下两种操作

1.Add(x,d)操作：让Ax增加d。

2.Query(L,R)：计算AL+AL+1+.......+AR。

     在学习二叉索引树之前，需要先介绍lowbit.

     对于正整数x，我们定义lowbit(x)为x的二进制表达式中最右边的1所对应的值。例如，38288的二进制是：1001010110010000，所以lowbit(x) = 16(二进制为10 000）。在程序实现中，lowbit(x) = x & (-x)。 因为计算机里的整数采用补码便是，因此-x实际上是x按位取反，末尾加1以后的结果。如下图

  

两者按位取“与”之后，前面部分全部为零，之后lowbit保持不变（都是第五位）。

下图是一棵典型的BIT,由十五个节点组成，编号为1 - 15.

灰色结点是BIT中的结点（白色长条的含义稍后叙述），每一层结点的lowbit相同，而且lowbit越大，越靠近根。图中的虚线是BIT中的边。编号为0的点是虚拟结点，他并不是树的一部分，但是他的存在可以让算法理解起来更容易一些。

对于结点i，如果它是左子结点，那么父结点的编号是i+lowbit(i)。如果它是右子结点，那么父结点的编号是i-lowbit(i)。搞清楚树的结构之后，构造一个辅助数组C，其中C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+....+A[i]。换句话说，C的每个元素都是A数组中的一段连续和。到底是那一段呢？在BIT中，每个灰色结点i都属于一个以它自身结尾的水平长条（对于lowbit=1的那些点，长条就是他本身），这个长条中数之和就是C[i]。其中

 C[i] = Ai-lowbit(x)+1 + Ai-lowbit(x)+2+...+Ai;

所以，有了C数组，就可以计算Si 了，其实只要节点i往左上“爬”就可以了，如下图

所以相应代码如下:

int sum(int x){    int ans = 0;    while(x > 0){        ans += C[x];        x = x - lowbit(x);    }    return ans;}

而如果要修改Ai，则应该顺着i点往右走，为什么？因为i点的改变会引起其父亲节点的改变。如下图

所对应的代码为：

void Add(int x,int d){     while(x <= n){       C[i] += d;       x = x + lowbit(x);     }}

所以到最后我们就可以计算A1+A2+...+Ai,并且修改某Ai的值。

下面是一道练习题；

codevs P1080;

AC代码如下：

/*作者:wbh20题目:p1080 线段树练习*/#include<cstdio>typedef long long LL;LL C[100000+10],n,m;inline int lowbit(int x){return x&(-x);}int sum(int x){int  res = 0;while(x > 0){res += C[x]; x -= lowbit(x);}return res;}void add(int x,int A){while(x <= n){C[x] += A; x += lowbit(x);}}int main(){scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n; i++){int x;scanf("%d",&x);add(i,x);}scanf("%d",&m);while(m--){int cmd,a,b;scanf("%d%d%d",&cmd,&a,&b);if(cmd == 1)add(a,b);else printf("%d\n",sum(b) - sum(a-1));}return 0;}