简单的划分数

问题

划分数就是将整数 n 分成若干个大于 0 的数的和。例如，n = 4，可以分成 1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共 5 种方案，注意 1+1+2，1+2+1，2+1+1被认为是相同的方案。

求整数 80 的划分数方案。

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答案

15796476

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思路

还是用dfs做，只是有点慢（要25s）(￣▽￣)”（只适合小数，如果是大数的话就很慢了）。

也可以用递归做,将递归函数的声明为 int d(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，分下列几种情况：

• 当 n=1，d为1，因为无论m为多少就只有1
• 当 m=1 时，d=1 ，由上例可知，当 n=4 时，d只有 1+1+1+1 这1种

• 当 n=m 时，又分为两种情况：

  • 第一种就是包含m的时候，就只有 m 这一种。
  • 另外一种就是不包含 m ，那么最大数就为 m-1 ,有 d(n,m-1) 种

  因此当 n=m 时，d(n , n)=1+ d(n,n-1）

• 当n < m 就相当于 d(n,n) 了

• 当 n > m 时，一种是不含m，为d（n，m-1）种,一种是含有m，有d（n-m，m）种

  因此d(n,m)=d（n-m，m）+d（n，m-1）

  注意理解d（n-m，m），注意这里的前提是划分包含m，所以将m提出来一个，保证划分中一定会有m，剩下数字划分的和为n-m，而这n-m中可能不会出现m，也可能出现m，但由于我们已经提出了一个m，所以此处不用担心m是否再出现。第一个数为什么是（n-m）,原因是提出一个m后，已经保证了划分中一定出现m，而n-m还没有进行划分，这里忽略提出的m，对剩下的整数n-m进行划分，划分的最大值仍然是m

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代码

• dfs代码

#include <iostream>using namespace std;int total=0;void dfs(int a,int sum){    if (sum==80) {        total++;        return;    }    if (sum>80) {        return;    }    for (int i=a;i<=80;i++) {        dfs(i,sum+i);    }}int main(int argc, char *argv[]) {    dfs(1,0);    printf("%d",total);    return 0;}

• 递归代码

#include <stdio.h> int d(int n, int m){    if(n < 1 || m < 1) return 0;    if(n == 1 || m == 1) return 1;    if(n < m) return d(n, n);    if(n == m) return (d(n, m - 1) + 1);    if(n > m) return d(n, m - 1)+d((n - m), m);}int main(){    printf("%d",d(80,80));    return 0;}