Vijos 1523 贪吃的九头龙 【树形DP】

贪吃的九头龙

背景

安徽省芜湖市第二十七中学测试题

NOI 2002 贪吃的九头龙(dragon)

Description:Official
Data:Official
Program:Converted by JackDavid127

描述

传说中的九头龙是一种特别贪吃的动物。虽然名字叫“九头龙”，但这只是说它出生的时候有九个头，而在成长的过程中，它有时会长出很多的新头，头的总数会远大于九，当然也会有旧头因衰老而自己脱落。

有一天，有M个脑袋的九头龙看到一棵长有N个果子的果树，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必须照顾到每个头，因此它需要把N个果子分成M组，每组至少有一个果子，让每个头吃一组。

这M个脑袋中有一个最大，称为“大头”，是众头之首，它要吃掉恰好K个果子，而且K个果子中理所当然地应该包括唯一的一个最大的果子。果子由N-1根树枝连接起来，由于果树是一个整体，因此可以从任意一个果子出发沿着树枝“走到”任何一个其他的果子。

对于每段树枝，如果它所连接的两个果子需要由不同的头来吃掉，那么两个头会共同把树枝弄断而把果子分开；如果这两个果子是由同一个头来吃掉，那么这个头会懒得把它弄断而直接把果子连同树枝一起吃掉。当然，吃树枝并不是很舒服的，因此每段树枝都有一个吃下去的“难受值”，而九头龙的难受值就是所有头吃掉的树枝的“难受值”之和。

九头龙希望它的“难受值”尽量小，你能帮它算算吗？

格式

输入格式

输入的第1行包含三个整数N(1<=N<=300)，M(2<=M<=N)，K(1<=K<=N)。N个果子依次编号1,2,...,N，且最大的果子的编号总是1。第2行到第N行描述了果树的形态，每行包含三个整数a(1<=a<=N)，b(1<=b<=N)，c(0<=c<=105)，表示存在一段难受值为c的树枝连接果子a和果子b。

输出格式

输出仅有一行，包含一个整数，表示在满足“大头”的要求的前提下，九头龙的难受值的最小值。如果无法满足要求，输出-1。

样例1

样例输入1

8 2 4 1 2 20 1 3 4   1 4 13 2 5 10 2 6 12 3 7 15 3 8 5

样例输出1

4

提示

树形动态规划

题目链接：

　　https://www.vijos.org/p/1523

题目大意：

　　N个果子的一颗树，树的边权都有一个值。九头龙有M个脑袋，1号脑袋(大头)必须吃1号果子，且1号脑袋必须吃恰好K个果子。

　　其他的脑袋(小头)至少吃一个果子。如果一个树枝的两段都被同一个头吃掉，那么代价就加上这条边的值。问满足题意的最小代价。

题目思路：

　　【树形DP】

　　首先通过观察我们发现这题的M只存在两种情况，M=2和M>2

　　如果M>2，那么通过交换必然有一种安排使得每个头都有至少一个果子吃且小头不会吃相邻的果子。

　　所以只需要考虑一个果子是否被大头吃，共两种状态。如果M=2，则必须算上小头吃的相邻果子的代价。

　　因为是一棵多叉树，转二叉树后为左儿子右兄弟，所以需要记录的是父亲的状态(二叉形态下的右兄弟需要知道原先多叉形态下父亲的状态)

　　转移的时候f[i][j][k]表示节点i，以i为根的子树(含i)被大头吃掉j个果子，父亲(多叉下)状态为k的最小代价。

　　k=0表示该节点的父亲(多叉下)被小头吃，k=1表示该节点的父亲(多叉下)被大头吃的代价。

　　那么只需要枚举当前节点被大头还是小头吃即可。

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