Cube Or 北方大学生训练赛

Cube Or

Time Limit: 2000/2000 MS(Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K(Java/Others)

 

Problem Description :                                                          

Given you N Integers a_i (1≤i≤N) , you can do thefollowing operation: pick out one integer, write down the value on a paper,then put this integer back . After you’ve done this operation three times, you dobitwise operation OR to all the three number you have picked. Now you need toanswer q queries. For the ith query, you know the final answerans_i after OR operation. And you need to find how many different ways you cando to getans_i. Two ways are different if in some operation, one way you pick upa_i andthe other way you pick up a_j and i ≠ j.

 

Input:

The first line contains 2integers, N (1≤N≤300000) andq (1≤q≤300000) .

The second line contains Nintegers. The ith (1≤i≤N) integer representsa_i (0≤a_i≤1e6).

The third line contain qintegers. The ith (1≤i≤N) integer representsans_i (0≤ans_i≤1e6).

 

 

Output:

Output q integers, the ith corresponds to the number of different waysof theith query.

 

 

Sample Input:

10 3

3 3 3 4 5 6 7 8 9 10

3 7 15

 

Sample Output:

27 301 378

 

Hint:

There’re 10³ = 1000 different of ways topick in total.

For the first query, only choosing from the first 3number can get final answer of 3. So the number of ways to get 3 is 3³=27.

题解：我们将输入的所有数按照其值为下标，统计其出现的次数。要取3个数进行位或，得到q，目标就是求取数的方案数。

样例q = 3的时候，只能取前3个数进行or操作才能得到，由于取出以后可以放回，因此共有3*3*3 = 27种可能。

我们可以这样考虑举个例子，对于要or到(111)2 的情况，我们先统计(111)2的所有子集出现次数的和（这里x子集y的定义就是在x的二进制位取0的情况下y相应的二进制位也必须为0）

那么(111)2的子集有(000)2 ，(001)2，(010)2，(011)2，(100)2，(101)2，(110)2，(111)2 ，那么他们子集出现次数的和为(011)2：3次 ；(100)2：1次；(101)2：1次；(110)2：1次，（111）2:1次，共6次，因此我们定义计算7*7*7 = 343为（111）2的毛方案数，然后我们再从343中减去不满足的情况就好了，那么不满足的情况有什么呢？

不满足的情况就是（111）2的子集 的毛方案数。也就是说（000）2的毛方案数为0；（001）2的毛方案数为0；（010）2的毛方案数为0；（011）2的毛方案数为27,；（100）2的毛方案数为1；(101）2的毛方案数为8；（110）2的毛方案数为8；然后（111）2的净方案数为343-27-1-8-8 = 301这就是第2个样例的计算方案。

因此我们定义动态规划的最优子结构。dp[i][j]表示数字j仅考虑后i位数字时的统计值

转移方程dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j^(1<<(i-1))]，前提：j & (1<<(i-1)) != 0 否则的话 直接有 dp[i][j] = dp[i-1][j]

因为dp[i]仅与dp[i-1]有关并且 对于一个确定的i， j^(1<<(i-1))与j不会同时出现，这就保证了我可以减少一维数组，节省空间，并且不会有后效性。

即直接定义dp[j]作为数字j仅考虑后i为数字时的统计值。

求完统计值以后，直接对统计值进行求立方，就可以得到毛方案数了。后面的处理自己看代码吧。代码很简练，我的题解是通过反推南开提供的标准答案得到的。

附上南开大学提供的标准答案：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll stat[1 << 20];int n, q;int main() {ios_base::sync_with_stdio(0);for(int I=1;I<=20;I++){memset(stat,0,sizeof(stat));char iName[100],oName[100];sprintf(iName,"data/%d.in",I);sprintf(oName,"data/%d.out",I);freopen(iName,"r",stdin);freopen(oName,"w",stdout);scanf("%d%d", &n, &q);for(int i = 0; i < n; i++) {int num;scanf("%d", &num);stat[num]++;}for(int i = 0; i < 20; i++) {for(int j = 0; j < 1 << 20; j++) if(j & (1 << i)) {stat[j] += stat[j ^ (1 << i)];}}for(int i = 0; i < 1 << 20; i++) {stat[i] = stat[i] * stat[i] * stat[i];}for(int i = 0; i < 20; i++) {for(int j = 0; j < 1 << 20; j++) if(j & (1 << i)) {stat[j] -= stat[j ^ (1 << i)];}}for(int i = 0; i < q; i++) {int num;scanf("%d", &num);cout << stat[num];if(i != q - 1)cout << ' ';}cout << endl;}    return 0;}/*10 33 3 3 4 5 6 7 8 9 103 7 15*/