prim算法 最小生成树

最小生成树是最小权重生成树的简称。一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边

普里姆算法（Prim算法） 在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和也为最小。

例如如下：图B是由图A的最小生成树

图A 　　　　　 图B

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算法过程详解：
存在两个集合：都存储结点
S集合里有所有顶点，V集合中的顶点表示已经确定了到该顶点的边。
初始化V集合中有顶点1,V集合的顶点用i表示，S-V集合中顶点j，寻找w[i][j]最小值找到j点，将j顶点加入到V集合中，继续，直到找到所有顶点。

详解：
（1）初始化：
将生成树的起点设为1，V={1}，S-V={2，3，4，5，6}
vert[2].loweight=7，　　　　vert[2].close=1;
vert[3].loweight=1，　　　　vert[3].close=1;
vert[4].loweight=5，　　　　vert[4].close=1;
vert[5].loweight=max，　　 vert[5].close=1;
vert[6].loweight=max，　　 vert[6].close=1;

（2）第一次循环
V={1，3}，S-V={2，4，5，6}
①遍历vert[j].loweight，找最短边，找到3， 将3加入到V集合中，
②因为V集合中多了3，所以要更新vert[j].loweight，进入到V集合的顶点就不用管了。
更新后：
vert[2].loweight=6，　　　　vert[2].close=3;
vert[3] 不用管了
vert[4].loweight=5，　　　　vert[4].close=1;
vert[5].loweight=6，　　 vert[5].close=3;
vert[6].loweight=4，　　 vert[6].close=3;

（3）第二次循环
V={1，3，6}，S-V={2，4，5}
①遍历vert[j].loweight，找最短边，找到6， 将6加入到V集合中，
②要更新vert[j].loweight
更新后：
vert[2].loweight=6，　　　　vert[2].close=3;
vert[3] 不用管了
vert[4].loweight=5，　　　　vert[4].close=1;
vert[5].loweight=2，　　 vert[5].close=6;
vert[6] 不用管了

（4）第三次循环
V={1，3，6，4}，S-V={2，5}
①遍历vert[j].loweight，找最短边，找到6， 将6加入到V集合中，
②更新vert[j].loweight
更新后：
vert[2].loweight=6，　　　　vert[2].close=3;
vert[3] 不用管了
vert[4] 不用管了
vert[5].loweight=2，　　 vert[5].close=3;
vert[6] 不用管了

（5）第四次循环

（6）最终 　　　

算法：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<string.h>#define Max 999999#define min(a,b) a<b?a:b int w[10000][10000],v[10000],n,m;struct ver{//S-V集合中j顶点     int loweight;//j顶点到V集合中i顶点的最小权值     int close;//j顶点与V集合中某点连接中的连线最短的连接点 }vert[10000];prim(){    int i,j,k;//i表示V中集合中的顶点，j表示S-V中的集合的顶点     v[1]=1;//1到V集合中了     for(j=2;j<=n;j++){        vert[j].close=1;        vert[j].loweight=w[1][i];    }    for(k=1;k<n;k++){//循环n-1次，一次确定一条边         //找这条最短边        int min=Max;        for(j=2;j<=n;j++){            if(vert[j].loweight<min&&v[j]==0){                min=vert[j].loweight;                i=j;            }         }           v[i]=1;//这条边找到了，权重为vert[i].loweight，j顶点加入了V集合，         printf("%d->%d %d\n",vert[i].close,i,min);        //此时S-V集合顶点i，vert[i].close的值或者还是原值，或者是新加入V的那个顶点，比较即可知道，然后更新         for(j=2;j<=n;j++){            if(w[i][j]<vert[j].loweight&&v[j]==0){                vert[j].loweight=w[i][j];                vert[j].close=i;            }        }    } }int main(){    int i,j,a,b,c;    memset(v,0,sizeof(v));//v[i]判断连接顶点i的边是否已经确定，初始化为0，表示还未确定，顶点都在S集合中，若为1，则表示此顶点变到V集合中     scanf("%d%d",&n,&m);//n个顶点，m条边     for(i=0;i<=n;i++){        for(j=0;j<=n;j++){            w[i][j]=Max;        }    }    for(i=0;i<m;i++){         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        w[a][b]=c;//记录顶点a到顶点b的权值         w[b][a]=c;//记录顶点a到顶点b的权值    }    prim();//生成树    return 0; } 

哈哈，希望能有帮助，一起进步