小波的秘密3_连续、离散小波变换定义

1.前言

小波变换主要包括连续小波变换和离散小波变换。本篇博客主要想弄清楚连续小波变换、离散小波变换、高维小波连续变换的意义。

2.连续小波变换

2.1 连续小波变换的定义

将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换（CWT）。其表达式为：

其中应当满足：

从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换一样，也是一种变换，为小波变换系数。也可见其与傅立叶变换的区别。

我们注意到：

若小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换：

容许条件：

逆变换公式：

这里需要做两条重要的说明：

（1）必须满足“容许条件”，反变换才存在。
（2）在实际应用中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条件，对还要施加所谓“正则性条件”，使     在频域上表现出较好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性，要求 随a的减小而迅速减小，所以这就要求的前n阶原点距为0，且n值越高越好。

2.2 小波变换的性质

线性、时移共变性、时标定理、微分运算、能领守恒、冗余度

2.3 连续小波变换的步骤

（1）选择小波函数及其尺度a值。
（2）从信号的起始位置开始，将小波函数和信号进行比较，即计算小波系数。
（3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。
（4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。

设计的原则：

a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心频率； Fa为伪频率。

3.离散小波变换

3.1 为啥我们要搞出一个离散小波变换？

对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量τ都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对它们进行离散化处理，得到离散小波变换。

3.2 尺度和位移的离散化方法

为了减小小波变换系数的冗余度，我们将小波基函数：

的a、τ限定在一些离散的点上取值。

（1）尺度的离散化。

目前通行的做法是对尺度进行幂数级离散化。即令a取：

则小波函数为：

（2）位移离散化。

通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴， τ满足Nyquist采样定理。在a=2j时，沿τ轴的响应采样间隔是2j τ0，在a0=2情况下，j增加1，则尺度a增加一倍，对应的频率减小一半。此时采样率可降低一半而不导致引起信息的丢失。

离散小波变换的定义为：

一般，取a0=2，则a=2j，τ=2jkτ0，则采样间隔为τ=2jτ0

当a=2j时，τ的采样间隔是 2jτ0 ，此时，变为：

一般，将τ0归一化，即τ0=1，于是有：

此时，对应的WTf为：

离散化过程中的两个问题：

一、离散小波能否完全表征函数f(t)的全部信息。
二、是否任何函数f(t)都可以表示为加权和。即

如果可以，系数如何求？

3.3 小波的框架理论

框架的定义:在希尔伯特空间H中有一族函数 ，如果存在0<A<B<∞，对所有的f∈H，有：

称是H中的一个框架

若A=B，则称为紧致框架，此时：

如果A=B=1，则                          

此时，是正交框架，若，则是规范正交基。

3.4 小波框架的定义

如果当基本小波函数ψ（t）经伸缩和位移引出的函数族:

具有如下性质：

我们称都成了一个框架，上式为小波框架条件。
其频域表示为：

的对偶函数也构成一个框架。               

3.5 小波框架的性质

（1）满足框架条件的，其基本小波必定满足容许性条件。
（2）离散小波变换具有非收缩时移共变性。
（3）离散小波框架存在冗余性。