[WerKeyTom_FTD的模拟赛]Sone0

题目描述

有一颗n个节点的树，每个节点有编号与权值。有m次操作，每种操作都有独特的编号。
编号为1的操作，会切断当前树上存在的一条边，并新加一条边，保证操作完成后仍然是树。
编号为2的操作，会改变这颗树的根节点（初始根节点为1）。
编号为3的操作，会给树上一条路径上所有点的权值都增加x。
编号为4的操作，会对树上一条路径上点的权值信息进行轮换，如果是对j到k这条路径操作，从j走到k的遍历序列是a1~p。则a1的权值改为a2的权值，a2的权值改为a3的权值……ap-1的权值改为ap的权值，ap的权重改为a1的权值。
编号为5的操作，会对树上一条路径上所有点的权值都开方（下取整）
编号为6的操作，会询问树上一条路径上所有点的权值和。
编号为7的操作，会给定两个常数p和q。你需要求出两个正整数u和v，对于给定路径上任意两点权值x和y，需要满足x/p<u/v<y/q。如果无论如何都满足不了这个条件，那么需要满足给定路径上存在两点权值x和y，满足p/x<v/u<q/y。如果还是无论如何都不可能满足，那么该操作为非法操作。你需要求出u和v，并最小化v。对于非法操作输出-1。
编号为8的操作，会询问树中一个子树的大小。

数据范围

Task1

在一个区间上进行修改和询问，直接n^2暴力。

Task2

在一个区间上进行区间加法和区间求和，写棵线段树做到n log n。

Task3

在一个区间进行开方和求和操作。我们对于开方操作很棘手。但是可以注意到一个数被开方很少的次数后就会变成1，从此开方操作对它不产生影响。因此区间开方时，可以暴力递归左右。如果一个区间全都是1，则我们可以退出。这样是n log n的。

Task4

当同时有加法和开方时，Task3的做法不管用了。但我们可以用一样的思路去思考。其实，只要一个区间全都一样，我们就可以打赋值标记然后退出。这启示我们，每次线段树暴力递归修改的复杂度可以和颜色段数相关。那么，经过多少次开方后两个颜色段会合并呢？可以发现对于两个颜色段a和b，有(√a-√b)(√a+√b)=a-b，而√a-√b<√a+√b。我们每次会把差给开方！那么跟Task3一样，只需要很少的次数就能合并两个颜色段。
但这里有个Trick，因为本题的开方是下取整的。我们发现两个颜色段差为1时开方后的差仍可能为1，那么我们的算法就可能T掉。我们可以对最大值减最小值=1的区间也进行判断，开方后会变得一样就打赋值标记退出，否则打加法标记退出。
同时维护两种标记要注意标记顺序，通常是先赋值后加法，那么记得下传标记时也要按照这个顺序，而打一个赋值标记时也要记得清空加法标记。

Task5

我们仔细分析可以发现我们需要知道的只是最大值mx和最小值mi。
然后就是求mx/p<u/v<mi/q。
如果mx/p>mi/q，就是求mi/q<u/v<mx/p
输出-1的情况是mx/p=mi/q。
在区间上进行最大值最小值的维护非常容易，我们来看怎么求u和v。
一个显然的结论是最小化分子或分母都是对的。
即不可能存在两组可能成为最优解的可行解u/v和u’/v’。u<u′而v>v’。这样可以证明一定有一个可以在合法的情况下继续变小。
考虑问题求a/b<u/v<c/d的最小v和u。
如果a>=b，可以一直减到a<b，相当于减去一个整数把假分数化为真分数。
然后就是a<b的情况，a/b<u/v<c/d，那么d/c<v/u<b/a，继续递归处理。
边界是a=0的时候。
可以发现上述算法就是一个类欧几里得算法，可以在log时间里求解。

Task6

序列上的轮换操作可以通过splay来实现，是n log n的。

Task7

在树上的暴力，有动态树的操作。我想到的是边集数组用map或set实现，就可以高效实现Link和cut。进行动态树操作后可以从根节点开始进行重构信息。
然而链表可以随便做。

Task8

在树上可以用树链剖分维护。

Task9

相对于Task8多了换根和求子树大小操作。
如果了解过ETT的人，可以比较清楚。没有link和cut操作下，即使有换根也是能维护子树大小的。我们并不需要真正的换根，只需要知道根节点是谁。比如我们以1为根，那么现在根节点是root，要求x的子树大小。如果root不在x的子树内，x的子树大小不变。否则，我们找到root的一个是x儿子的祖先z，x的子树大小应该是n-z的子树大小。其余部分和Task8一致。

Task10

当加入了link和cut操作后，我们就需要用动态树LCT进行维护了。

Task11

动态树的轮换问题比较难解决，为什么它不能像序列上一样容易呢？
因为动态树的splay，同时维护了权值和形态信息，轮换操作没有改变形态，只是改变了权值的对应关系，只用原先的splay无法进行维护。
那么我们可以把权值和形态信息进行分离，每条重链上保存两颗splay，一颗记录形态信息（即点的编号），一颗记录权值信息，两颗splay的中序遍历的权值和形态要一一对应。与权值相关的操作只需要在权值splay上进行操作（比如轮换），而与形态相关的操作通常需要两颗splay一起变动。这样常数虽然略大，但复杂度仍是n log n。

Task12

在有换根和link、cut情况下求子树大小，我们的LCT可以考虑记录虚边信息。
即对于每一个结点，保存siz表示所有连到它的虚子树大小之和，在虚实切换时进行更改即可。想知道一个点的子树大小，可以选择access它。
实现较麻烦。

Task13

基本是上面的杂合了。
值得一提的是开方操作，它和轮换、加法操作在树上也可以共存，仍然可以用颜色段解释，它的复杂度是正确的。在splay上抽取颜色段，也就相当于定位区间，而splay定位区间也是均摊log n的。不过为了保证它的复杂度，实现时可以一段一段抽出来，再合并到一起，这样才不会违背势能分析。不过其实也没有刻意卡，直接暴力递归左右大概也是可以过的。
严谨的解释为什么它的复杂度仍然是有保证的。对树进行轻重链剖分，一条重链可以看做一个序列。同序列上的证法一样，现在每次加法或轮换操作经过一条树路径，可以拆成两条自下而上的树路径，可以发现经过的重链数量是log级别，也相当于对log个序列进行了区间修改。
比较麻烦的是轻边的影响，因为一个点被修改，它连出的多条轻边都受到影响，这部分我们很难计算。但可以注意到每次开方操作也只经过log条轻边，可以直接把所有轻边连接的两个节点永久视为点权不一致，这样也没有关系。
这题是动态树，容易讨论一条边在一次link/cut操作前后的影响。如果都是重边或都是轻边没有关系，重边变成了轻边也没有关系，轻边变成重边也没有关系（可以证明变化量是log级别）。

参考程序

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cmath>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=50000+10;int tree[2][maxn][2],father[2][maxn],pp[2][maxn],sta[maxn],cal[2][maxn];int size[2][maxn],siz[maxn],num[maxn];ll mx[maxn],mi[maxn],sum[maxn],key[maxn],st[maxn],ad[maxn];bool bz[2][maxn],fz[maxn];int h[maxn],go[maxn*2],next[maxn*2];int i,j,k,l,r,u,v,w,x,y,t,n,m,tot,top,root;ll ans,da,xi,p,q;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){        if (ch=='-') f=-1;        ch=getchar();    }    while (ch>='0'&&ch<='9'){        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}void add(int x,int y){    go[++tot]=y;    next[tot]=h[x];    h[x]=tot;}void dfs(int x,int y){    pp[0][x]=pp[1][x]=y;    cal[0][x]=cal[1][x]=x;    int t=h[x];    while (t){        if (go[t]!=y){            dfs(go[t],x);            siz[x]+=siz[go[t]]+1;        }        t=next[t];    }}void update(int p,int x){    size[p][x]=size[p][tree[p][x][0]]+size[p][tree[p][x][1]]+1;    if (p==0){        num[x]=num[tree[0][x][0]]+num[tree[0][x][1]]+siz[x];    }    else{        mx[x]=key[x];        if (tree[1][x][0]) mx[x]=max(mx[x],mx[tree[1][x][0]]);        if (tree[1][x][1]) mx[x]=max(mx[x],mx[tree[1][x][1]]);        mi[x]=key[x];        if (tree[1][x][0]) mi[x]=min(mi[x],mi[tree[1][x][0]]);        if (tree[1][x][1]) mi[x]=min(mi[x],mi[tree[1][x][1]]);        sum[x]=sum[tree[1][x][0]]+sum[tree[1][x][1]]+key[x];    }}int pd(int p,int x){    return tree[p][father[p][x]][1]==x;}void rotate(int p,int x){    int y=father[p][x],z=pd(p,x);    father[p][x]=father[p][y];    if (father[p][y]) tree[p][father[p][y]][pd(p,y)]=x;    tree[p][y][z]=tree[p][x][1-z];    if (tree[p][x][1-z]) father[p][tree[p][x][1-z]]=y;    tree[p][x][1-z]=y;    father[p][y]=x;    update(p,y);    update(p,x);    if (pp[p][y]) pp[p][x]=pp[p][y],pp[p][y]=0;    if (cal[p][y]) cal[p][x]=cal[p][y],cal[p][y]=0;}void markbz(int p,int x){    swap(tree[p][x][0],tree[p][x][1]);    bz[p][x]^=1;}void markst(int x,ll v){    fz[x]=1;    st[x]=mx[x]=mi[x]=key[x]=v;    sum[x]=(ll)v*size[1][x];    ad[x]=0;}void markad(int x,ll v){    sum[x]+=(ll)v*size[1][x];    ad[x]+=v;mx[x]+=v;mi[x]+=v;key[x]+=v;}void clear(int p,int x){    if (bz[p][x]){        if (tree[p][x][0]) markbz(p,tree[p][x][0]);        if (tree[p][x][1]) markbz(p,tree[p][x][1]);        bz[p][x]=0;    }    if (p==1){        if (fz[x]){            if (tree[1][x][0]) markst(tree[1][x][0],st[x]);            if (tree[1][x][1]) markst(tree[1][x][1],st[x]);            fz[x]=0;        }        if (ad[x]){            if (tree[1][x][0]) markad(tree[1][x][0],ad[x]);            if (tree[1][x][1]) markad(tree[1][x][1],ad[x]);            ad[x]=0;        }    }}void remove(int p,int x,int y){    top=0;    while (x!=y){        sta[++top]=x;        x=father[p][x];    }    while (top) clear(p,sta[top--]);}void splay(int p,int x,int y){    remove(p,x,y);    while (father[p][x]!=y){        if (father[p][father[p][x]]!=y)            if (pd(p,x)==pd(p,father[p][x])) rotate(p,father[p][x]);else rotate(p,x);        rotate(p,x);    }}int kth(int p,int x,int y){    if (!x) return 0;    if (size[p][tree[p][x][0]]+1==y) return x;    clear(p,x);    if (size[p][tree[p][x][0]]+1>y) return kth(p,tree[p][x][0],y);    else return kth(p,tree[p][x][1],y-size[p][tree[p][x][0]]-1);}int findfr(int p,int x){    splay(p,x,0);    int k=size[p][tree[p][x][0]]+1;    int u=cal[p][x];    splay(1-p,u,0);    int v=kth(1-p,u,k);    splay(1-p,v,0);    return v;}int getsize(int x){    splay(0,x,0);    return siz[x]+num[tree[0][x][1]]+size[0][tree[0][x][1]]+1;}void real_empty(int p,int x,int y){    if (p==0){        splay(p,y,0);        siz[y]+=getsize(x);        update(0,y);    }    splay(p,y,0);    splay(p,x,y);    tree[p][y][1]=0;    father[p][x]=0;    pp[p][x]=y;    update(p,y);}void empty_real(int p,int x,int y){    if (p==0){        splay(p,y,0);        siz[y]-=getsize(x);        update(0,y);    }    splay(p,y,0);    splay(p,x,0);    cal[p][x]=0;    tree[p][y][1]=x;    father[p][x]=y;    pp[p][x]=0;    update(p,y);}void access(int x){    int j,k,y,z,u,v,w;    splay(0,x,0);    z=kth(0,tree[0][x][1],1);    if (z){        splay(0,z,x);        v=findfr(0,x);w=findfr(0,z);        real_empty(0,z,x);real_empty(1,w,v);        splay(0,z,0);splay(1,w,0);        cal[0][z]=w;cal[1][w]=z;        splay(0,x,0);splay(1,v,0);        cal[0][x]=v;cal[1][v]=x;    }    while (pp[0][x]){        y=pp[0][x];        splay(0,y,0);        z=kth(0,tree[0][y][1],1);        if (z){            splay(0,z,y);            v=findfr(0,y);w=findfr(0,z);            real_empty(0,z,y);real_empty(1,w,v);            splay(0,z,0);splay(1,w,0);            cal[0][z]=w;cal[1][w]=z;            splay(0,y,0);splay(1,v,0);            cal[0][y]=v;cal[1][v]=y;        }        splay(0,x,0);        z=kth(0,x,1);        splay(0,z,0);        v=findfr(0,y);w=findfr(0,z);        empty_real(0,z,y);empty_real(1,w,v);        splay(0,x,0);    }}void makeroot(int x){    access(x);    splay(0,x,0);    markbz(0,x);    int u=cal[0][x];    splay(1,u,0);    markbz(1,u);}void cut(int x,int y){    makeroot(x);    access(x);    splay(0,x,0);    siz[x]-=getsize(y);    update(0,x);    splay(0,y,0);    pp[0][y]=0;    int u=cal[0][y];    splay(1,u,0);    pp[1][u]=0;}void link(int x,int y){    makeroot(x);    makeroot(y);    access(x);    splay(0,x,0);    siz[x]+=getsize(y);    update(0,x);    splay(0,y,0);    pp[0][y]=x;    int u=cal[0][y],v=cal[0][x];    splay(1,u,0);    pp[1][u]=v;}void kf(int x,int y){    if (!x) return;    if (y>t){        t=y;        v=x;    }    clear(1,x);    if (mx[x]==mi[x]){        markst(x,int(sqrt(mx[x])));        return;    }    else if (mx[x]==mi[x]+1){        if (int(sqrt(mx[x]))==int(sqrt(mi[x]))) markst(x,int(sqrt(mx[x])));        else markad(x,int(sqrt(mi[x]))-mi[x]);        return;    }    key[x]=int(sqrt(key[x]));    kf(tree[1][x][0],y+1);kf(tree[1][x][1],y+1);    update(1,x);}/*void kf(int x,int y){    if (!x) return;    if (y>t){        t=y;        v=x;    }    clear(1,x);    key[x]=int(sqrt(key[x]));    kf(tree[1][x][0],y+1);kf(tree[1][x][1],y+1);    update(1,x);}*/void likegcd(int a,int b,int c,int d){    if (a==0){        q=1;p=floor(d/c)+1;        return;    }    if (a>=b){        likegcd(a%b,b,c-d*(a/b),d);        q+=(ll)p*(a/b);        return;    }    if (c>d){        p=q=1;        return;    }    likegcd(d,c,b,a);    swap(p,q);}void write(ll x){    if (x<0){        putchar('-');        x=-x;    }    if (!x){        putchar('0');        return;    }    top=0;    while (x){        sta[++top]=x%10;        x/=10;    }    while (top) putchar('0'+sta[top--]);}int main(){    freopen("satori.in","r",stdin);freopen("satori.out","w",stdout);    n=read();m=read();    fo(i,1,n-1){        j=read();k=read();        add(j,k);add(k,j);    }    dfs(1,0);    fo(i,1,n){        key[i]=read();        update(0,i);update(1,i);    }    root=1;    while (m--){        t=read();        if (t==1){            j=read();k=read();u=read();v=read();            cut(j,k);            link(u,v);        }        else if (t==2){            j=read();            root=j;        }        else if (t==3){            j=read();k=read();x=read();            makeroot(j);            access(k);            splay(0,k,0);            u=cal[0][k];            splay(1,u,0);            markad(u,x);        }        else if (t==4){            j=read();k=read();            makeroot(j);            access(k);            splay(0,k,0);            u=cal[0][k];            splay(1,u,0);            v=kth(1,u,1);            splay(1,v,0);            w=tree[1][v][1];            if (w){                father[1][w]=0;                tree[1][v][1]=0;                update(1,v);                x=kth(1,w,size[1][w]);                splay(1,x,0);                tree[1][x][1]=v;                father[1][v]=x;                update(1,x);            }        }        else if (t==5){            j=read();k=read();            makeroot(j);            access(k);            splay(0,k,0);            u=cal[0][k];            splay(1,u,0);            t=-1;            kf(u,0);            splay(1,v,0);        }        else if (t==6){            j=read();k=read();            makeroot(j);            access(k);            splay(0,k,0);            u=cal[0][k];            splay(1,u,0);            ans=sum[u];            write(ans);putchar('\n');        }        else if (t==7){            j=read();k=read();p=read();q=read();            makeroot(j);            access(k);            splay(0,k,0);            u=cal[0][k];            splay(1,u,0);            da=mx[u];xi=mi[u];            if ((ll)da*q>(ll)xi*p){                swap(da,xi);                swap(p,q);            }            if ((ll)da*q==(ll)xi*p){                write(-1);putchar('\n');                continue;            }            likegcd(da,p,xi,q);            write(q);putchar(' ');write(p);putchar('\n');        }        else if (t==8){            j=read();            makeroot(root);            access(j);            ans=siz[j]+1;            write(ans);putchar('\n');        }    }}