【NOI2017模拟4.5】无限棋盘【哈希，字符串，倍增】

Description

无聊的小A在一个无限大的棋盘上玩游戏，这个棋盘由一个M*N的模板不停重复生成。例如，当模板为：
honi
hsin
时，我们会生成如下棋盘：
…honihonihonihoni…
…hsinhsinhsinhsin…
…honihonihonihoni…
…hsinhsinhsinhsin…
其中，该棋盘在任意一个方向都可以无限延伸。
现在小A在棋盘上随机挑选一个位置，又随机挑选一个方向（八个方向之一），并从该位置开始，沿着挑选的方向走K-1步，沿路记下每一个经过的字母（包括起点），得到一个长度为K的字符串。他重复并独立地执行该操作两次，得到两个长度为K的字符串，他现在想知道，这两个字符串相同的概率是多大？

Solution

如果这题直接hash的话，然后因为k不同而概率相同的概率很大，然后我考场的时候如果8nmk>时间上限，然后把k的位数变小，结果最后只错了两个点。
那么正解怎么办？
我们发现难点就是怎么求hash。
因为要走k次，那么一个很显然的想法就是这个k次我们可不可以用log的时间来求出来。
那么我们可以采用rmq的思想，把走2i次给求出来，最后合并。
那么这样的复杂度是O(8nmlog(k))
但是需要卡一下常数。
首先mod不能太多，所以求hash值的时候让它自然溢出。
然后最后求答案的时候用排序。

Code

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<math.h>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)using namespace std;typedef long long ll;const ll maxn=507,mxx=37;ll i,j,k,l,t,x,y,xx,yy;int fang[8][2]={1,0,0,1,-1,0,0,-1,1,1,-1,-1,1,-1,-1,1};char s[maxn][maxn];ll ga,ans,n,m,p,q,lim,di,o,ans1[maxn*maxn*8];ll f[maxn][maxn][31],er[31],ci[maxn],num;ll r[maxn];ll gcd(ll x,ll y){    if(!y)return 0;    ll z=1;    while(z){        z=x%y;        x=y,y=z;    }    return x;}int main(){    freopen("chessboard.in","r",stdin);    freopen("chessboard.out","w",stdout);  //  freopen("data.in","r",stdin);    er[0]=1;ci[0]=mxx;fo(i,1,30)er[i]=er[i-1]*2,ci[i]=ci[i-1]*ci[i-1];    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    fo(i,1,30)if(k&er[i-1])r[++r[0]]=i-1;    fo(i,1,n)scanf("%s",s[i]+1);    lim=log(k)/log(2);    fo(l,0,7){        fo(i,1,n){            fo(j,1,m)f[i][j][0]=s[i][j]-'a';        }        ans=ans;        fo(t,1,lim){            fo(i,1,n){                fo(j,1,m){                    x=(i+fang[l][0]*er[t-1])%n;y=(j+fang[l][1]*er[t-1])%m;                    x+=(x<=0)?n:0;y+=(y<=0)?m:0;                    f[i][j][t]=f[i][j][t-1]*ci[t-1]+f[x][y][t-1];                }            }        }        fo(i,1,n){            fo(j,1,m){                o=k;ga=0;                p=i,q=j;                fo(x,1,r[0]){                    t=r[x];                    ga=ga*ci[t]+f[p][q][t],o-=er[t];                    p=(p+fang[l][0]*er[t])%n;q=(q+fang[l][1]*er[t])%m;                    p+=(p<=0)?n:0;q+=(q<=0)?m:0;                }                ans1[++num]=ga;            }        }    }    sort(ans1+1,ans1+num+1);    l=1;    fo(i,2,num){        if(ans1[i]!=ans1[i-1])ans+=l*l,l=1;        else l++;    }    ans+=l*l;    di=n*m*n*m*8*8;    t=gcd(ans,di);    p=ans/t,q=di/t;    printf("%lld/%lld\n",p,q);}