[匈牙利算法] 最小点覆盖 König定理

König定理：

一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。

（你都能用最少的覆盖最多的还不是最大匹配数？？）

poj 1325 Machine Schedule

【题目描述】有两部机器A和B。A机器有n中工作模式0，1，2，3，……n-1，总共n种。B机器有m中工作模式，0，1，2，3，……m-1 ，总共m种。有k个任务，每个任务可以在A机器的某个模式 或者B机器的某个模式中完成。
A和B机器开始时都默认在0模式，要选择其他模式就要重启一次。求完成k个任务至少需要重启多少次机器。最后以0结束。输出最少重启机器的次数。
【输入】第一行三个整数n, m，k( 0< n, m < 100，0< k < 1000），n表示A机器有n种模式，m表示B机器有m中模式，k表示k个任务。下来k行，每行三个数 p，x，y，第一个表示第p个任务，后面两个，表示该任务可以在A机器的x模式完成，或者可以选择B机器的y模式完成该任务。
【输出】一个整数，为最少重启机器的次数。
【解析】：要完成所有任务，那么就是要覆盖所有任务，任务为边，AB机器的模式是点，边连接两个点表示任务可在A机器中某个模式或B机器中某个模式完成。构图完成后，那么剩下就是用匈牙利算法求最小点覆盖数。

#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;int a[210],n,m,k,ans;//a[]：这个母牛所匹配到的公牛bool pp[210][210],ch[210];//pp[][]:可以匹配的公牛母牛//ch[i]：i这个母牛能否访问int find(int x){    for (int i=1;i<=m;i++)    {        if (pp[x][i]==true&&ch[i]==true)        {            ch[i]=false;            if (a[i]==0||find(a[i])==1)            {                a[i]=x;                return 1;            }        }    }    return -1;}int main(){    while (1)    {           scanf("%d",&n);        if (n==0) break;        scanf("%d%d",&m,&k);        memset(pp,false,sizeof(pp));        memset(a,0,sizeof(a));        for (int i=1;i<=k;i++)        {            int u,x,y;            scanf("%d%d%d",&u,&x,&y);            pp[x][y]=true;        }        ans=0;        for (int i=1;i<=n;i++)        {            memset(ch,true,sizeof(ch));            if (find(i)==1) ans++;        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

König定理证明：
虽然直接应用König定理可以解决许多最小覆盖的题目，但这类题难点往往在于构图，要做到灵活构图应用König定理，则对其证明需要有一定的了解。König定理的证明是建立在匈牙利算法操作细节上的，掌握匈牙利算法的全过程很重要。
假设二分图G分为左边X和右边Y两个互不相交的点集。G经过匈牙利算法后找到一个最大匹配M，则可知G中再也找不到一条增广路径。
根据König定理从最大匹配边中选M个点。下来说明选点策略，再证明这个策略的正确性。
选点策略：
标记右边未匹配边的顶点，并从右边未匹配边的顶点出发，按照边：未匹配→匹配→未匹配→……的原则标记途中经过的顶点，则最后一条经过的边必定为匹配边（否则为增广路经）。重复上述过程，直到右边不再含有未匹配边的点。