笔试面试算法经典--矩阵的最短路径和（Java）

题目
给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有路径中最小的路径和。
例子：
给定m如下：
1 3 5 9
8 1 3 4
5 0 6 1
8 8 4 0
路径1,3,1,0,6,1,0是所有路径中路径和最小的，所以返回12。

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解法1

思路：

使用动态规划，定义 dp[M][N] , M ,N 分别代表矩阵的行和列数 dp[i][j] 表示从左上角到矩阵（i，j）位置是的最短路径和。则可知 到（i，j）位置有两种情况：1）由（i-1，j）向下走，2）由（i，j-1）向右走，所以dp[i][j]=Math.min（dp[i-1][j],dp[i][j-1]）+m[i][j];对于dp[0][j] 只能由 dp[0][j-1] 向右走，dp[i][0] 只能由 dp[i-1][0] 向下走。所以 dp[0][j]=dp[0][j-1]+m[0][j], dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0].

代码：

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public static int shortestRoad(int arr[][])    {        int dp[][]=new int [arr.length][arr[0].length];        dp[0][0]=arr[0][0];        for(int i=1;i<arr.length;i++)        {            dp[i][0]=dp[i-1][0]+arr[i][0];            //第一列只能由上向下        }        for(int j=1;j<arr[0].length;j++)        {            dp[0][j]=dp[0][j-1]+arr[0][j];            //第一行只能由左向右        }        for(int i=1;i<arr.length;i++)            for(int j=1;j<arr[0].length;j++)            {                dp[i][j]=Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])+arr[i][j];            }        return dp[arr.length-1][arr[0].length-1];    }

解法2（优化解法1）

思路：
解法1中使用dp数组的空间大小为M*N，其实可以对dp数组的空间压缩至N，定义大小为N的dp数组，对于第一行，dp[i]=dp[i-1]+m[0][i],在求第二行中的 dp[i] 时可以覆盖第一行 dp[i] ,第二行dp[i]=Math.min（dp[i],dp[i-1]）+m[i][j]。

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代码

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public static int shortestRoad1(int arr[][])    {        int dp[]=new int[arr[0].length];        dp[0]=arr[0][0];        for(int j=1;j<arr[0].length;j++)        {            dp[j]=dp[j-1]+arr[0][j];            //求出第一行的dp        }        for(int i=1;i<arr.length;i++)        {            dp[0]=arr[i][0]+dp[0];            //dp[0]代表每一行最左边的dp，            //后一行的dp覆盖前一行的dp            for(int j=1;j<arr[0].length;j++)            {                dp[j]=Math.min(dp[j-1]+arr[i][j], dp[j]+arr[i][j]);            }        }                       return dp[arr[0].length-1];    }