[codeforces455E]Function

题面

Serega and Fedor play with functions. One day they came across a very interesting function. It looks like that:

f(1, j) = a[j], 1 ≤ j ≤ n.
f(i, j) = min(f(i - 1, j), f(i - 1, j - 1)) + a[j], 2 ≤ i ≤ n, i ≤ j ≤ n.
Here a is an integer array of length n.

有m个询问，每次给出x,y，求f(x,y)

1≤n,m≤100000 1≤x≤y≤100000

分析

f(x,y)可以看成是从某个(1,i)出发的路径。其中i∈[y-x+1,y]
为了使答案最优，路径一定是一段(i,j)—>(i+1,j)，再是一段(i,j)—>(i+1,j+1)

那么考虑i对f(x,y)的贡献，它等于：
(x−(y−i))∗a[i]+sum[y]−sum[i]，其中sum[i]=∑ij=1a[j]
i比j更优，当且仅当满足：
(x−(y−i))∗a[i]+sum[y]−sum[i]<(x−(y−j))∗a[j]+sum[y]−sum[i]
整理得到：
(x−y)∗a[i]+i∗a[i]−sum[i]<(x−y)∗a[j]+j∗a[j]−sum[j]
发现i,j可以表示成ax+b的形式。
那么可以把询问区间像线段树那样分成log块，然后每一块分别求一次答案。用线段树维护区间里直线的最优值即可。
维护的方法：线段树的每个节点存一个线段。如果新加入一条线段，在这个节点和当前已有线段交叉，那么把在当前区间中占优部分更多的保留，另一个根据相交情况，下传到左区间或右区间。
时间复杂度O(nlog2n)

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))using namespace std;const int N=100005,M=262250;typedef long long LL;int n,m,a[N],sum[N],now,T[M],Y1[M],Y2[M],A[N],B[N],visit[M],X[N],Y[N],Ans[N];vector <int> h[M];char c,S[12];int read(){    for (c=getchar();c<'0' || c>'9';c=getchar());    int x=c-48;    for (c=getchar();c>='0' && c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-48;    return x;}void Add(int l,int r,int a,int b,int v,int x){    if (l==a && r==b)    {        h[x].push_back(v);        return;    }    int mid=l+r>>1;    if (b<=mid) Add(l,mid,a,b,v,x<<1);else if (a>mid) Add(mid+1,r,a,b,v,x<<1|1);else    {        Add(l,mid,a,mid,v,x<<1); Add(mid+1,r,mid+1,b,v,x<<1|1);    }}void Ins(int l,int r,int v,int x){    if (visit[x]!=now)    {        visit[x]=now;        if (l==r) T[x]=A[v]*l+B[v];else        {            T[x]=v; Y1[x]=A[v]*l+B[v]; Y2[x]=A[v]*r+B[v];        }        return;    }    if (l==r)    {        T[x]=min(T[x],A[v]*l+B[v]);        return;    }    int y1=A[v]*l+B[v],y2=A[v]*r+B[v];    if (y1>=Y1[x] && y2>=Y2[x]) return;    if (y1<=Y1[x] && y2<=Y2[x])    {        Y1[x]=y1; Y2[x]=y2; T[x]=v;        return;    }    int mid=l+r>>1;    if (A[v]*mid+B[v]>A[T[x]]*mid+B[T[x]])    {        if (y1<Y1[x]) Ins(l,mid,v,x<<1);else Ins(mid+1,r,v,x<<1|1);    }else    {        if (y1<Y1[x]) Ins(mid+1,r,T[x],x<<1|1);else Ins(l,mid,T[x],x<<1);        T[x]=v; Y1[x]=y1; Y2[x]=y2;    }}void query(int l,int r,int v,int id,int x){    if (visit[x]!=now) return;    if (l==r)    {        Ans[id]=min(Ans[id],T[x]); return;    }    int mid=l+r>>1;    if (v<=mid) query(l,mid,v,id,x<<1);else query(mid+1,r,v,id,x<<1|1);    Ans[id]=min(Ans[id],A[T[x]]*v+B[T[x]]);}void solve(int l,int r,int x){    if (l<r)    {        int mid=l+r>>1;        solve(l,mid,x<<1); solve(mid+1,r,x<<1|1);    }    if (h[x].empty()) return;    now=x;    for (int i=l;i<=r;i++) Ins(0,n,i,1);    vector <int> ::iterator it;    for (it=h[x].begin();it!=h[x].end();it++) query(0,n,Y[*it]-X[*it],*it,1);}void write(int x){    if (x==0)    {        putchar('0'); putchar('\n');return;    }    int len=0;    for (;x>0;x/=10) S[len++]=x%10;    for (int i=len-1;i>=0;i--) putchar(S[i]+'0'); putchar('\n');}int main(){    n=read();    for (int i=1;i<=n;i++)    {        a[i]=read(); sum[i]=sum[i-1]+a[i];        A[i]=-a[i]; B[i]=i*a[i]-sum[i];    }    m=read();    for (int i=0;i<m;i++)    {        X[i]=read();        Y[i]=read();        Ans[i]=-1e9;        Add(1,n,Y[i]-X[i]+1,Y[i],i,1);    }    memset(Y1,127,sizeof(Y1));    memset(Y2,127,sizeof(Y2));    memset(Ans,127,sizeof(Ans));    solve(1,n,1);    for (int i=0;i<m;i++) write(Ans[i]+sum[Y[i]]);    return 0;}