算法导论第六章之最大、最小堆

堆是很重要的一种数据结构，常常用在排序和优先队列的实现上，当然在C++ STL中有优先队列的实现，但是者并不妨碍我们去学习他。

堆其实是一种数组对象，也就是说他的数据全部都存储在数组中，它可以被视为一棵完全二叉树（不懂二叉树的请自行百度）。（二叉堆）堆有两种：最大堆和最小堆。

最大堆
通俗来讲，满足下面要求的完全二叉树为最大堆:
除了根节点以外的每一个节点i，有：
A[Parent]>=A[i]
注：数组A[]是存储堆元素的数组。
这样堆中的最大值明显是存储在根节点中的（如果有和根节点同样大的值，其子节点也会存储最大的数据）。

最小堆：
最小堆和最大堆有点相反的意思，其满足的条件是在完全二叉树中,除了根节点以外的节点i，有：
A[Parent]<=a[i]

主要的运用的基本过程：
下面以最大堆来描述各个过程和实现

MAX-HEAPIFY（）过程：
保持最大堆的性质，那么我们假设某个节点i，他的左子树LEFT(i)和右子数都是最大堆，那么节点i对于他的两棵子树来说可能会小于子数节点，这时候就需要对堆进行调整。运行时间O(lgn);

实现代码：
**

//这里和书上不太一样，因为他的伪代码直接有heapSizeMAX—HEAPIFY(a，int i,int heapSize){int largest;int change;int l = a[i/2];int r = a[i/2+1];if(l<=heapSize&&a[l]>a[i])    largest = l;if(r<=heapSize&&a[r]>a[l])    largest = r;if(largest!=i){    change = a[i];    a[i] = a[largest];    a[largest] = change;    MAX-HEAPFIPY(A,largest,heapSize);}}注:只有节点i和其子节点有过交换才会继续判断，否则就是满足最大堆的要求的。

BUILD-MAX-HEAP（）过程：
对于一个存储数组（存储着堆 的节点的值），我们知道1…..n个节点的时候从n/2+1到n是叶子节点，那么一个叶子节点肯定是一个堆，所以我们对堆进行处理一般是对非叶子结点进行处理。代码如下：

BUILD—MAX-HEAP(A,int heapSize){    for(int i = heapSize/2+1;i<n;i++)         MAX-HEAPIFY(A,i,heapSize);}

HEAPSORT()过程：
HEAP()就是堆排序过程，首先将给定的数据排列成一个最大，最小堆（这里以最大堆为例），然后在对堆进行排序：

HEAPSORT（A,int heapSize）{   BUILD—MAX-HEAP(A,heapsize);    int leap;    for(int i = heapSsize-1;i>0;i--){        leap = a[0];        a[0] = a[i];        a[i] = leap;        heapSize -= 1;        BUILD-MAX-HEAP(A,a[0],heapSize);       }  }

最小堆的运用实现：

最小堆其实很像最大堆的一个相反的过程。

MIN-HEAPIFY（）过程：

MIN—HEAPIFY(a，int i,int heapSize){int smallest;int change;int l = a[i/2];int r = a[i/2+1];if(l<=heapSize&&a[l]<a[i])    largest = l;if(r<=heapSize&&a[r]<a[l])    smallest = r;if(smallest!=i){    change = a[i];    a[i] = a[smallest];    a[smallest] = change;    MAX-HEAPFIPY(A,smallest,heapSize);}}

BUILD—MIN-HEAP过程

BUILD—MIN-HEAP(A,int heapSize){    for(int i = heapSize/2+1;i<n;i++)         MIn-HEAPIFY(A,i,heapSize);}

HEAPSORT()过程

HEAPSORT（A,int heapSize）{    BUILD—MIN-HEAP(A,heapsize);    int b[N];  ///因为我们的a[0]就是最小，如果想要填补我们有另外一个                                          // 数组                int leap;    int k = 0;    for(int i = heapSsize-1;i>0;i--){        b[k++] = a[0];        a[0] = a[i];        heapSize -= 1;        BUILD-MIN-HEAP(A,a[0],heapSize);       }     b[k++] = a[0];     for(int i=0;i<k;i++)        a[i] = b[i];  }