算法训练之递归

package com.recursive;public class test1 {public static void main(String[] args) {}//fibonacci数列 public int fibonacci(int n){if(n<3)return 1;elsereturn fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}//1加到n累加public int sum(int n){if(1==n)return 1;elsereturn sum(n-1)+n;}//从1到n累积public int accumulate(int n){if(1==n)return 1;elsereturn accumulate(n-1)*n;}// 用递归算法求数组中的最大值public int getmax(int[] a,int low,int height ){int max;if(low>height-2){if(a[low]>a[height])max=a[low];else max=a[height];}else{int mid =(low+height)/2;int max1=getmax(a,low,mid);int max2=getmax(a, mid+1, height);max=max1>max2?max1:max2;}return max;}// 用递归算法求解数字塔问题public String getRow(int n){String s = null;for(int i=0;i<n;i++){s+=n+" ";}return s;}public String numtower(int n){if(1==n)return getRow(n)+"\n";elsereturn numtower(n-1)+getRow(n)+"\n";}}

进阶练习

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：
       n=m1+m2+...+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,...,mi}为n的一个划分。
       如果{m1,m2,...,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
       例如当n=4时，他有5个划分，{4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1};
       注意4=1+3 和 4=3+1被认为是同一个划分。
       该问题是求出n的所有划分个数，即f(n, n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法;
1.递归法：
       根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
        （1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
        (2) 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,...,1};
        (3) 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
        (4) 当n<m时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于f(n,n);
        (5) 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
               (a). 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，因此这种情况下
                 为f(n-m,m)
               (b). 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
      综上所述：
                             f(n, m)=   1;                (n=1 or m=1)
                             f(n, n);                        (n<m)
                             1+ f(n, m-1);                (n=m)
                             f(n-m,m)+f(n,m-1);      (n>m)

import java.util.Scanner;public class test2 {//整数划分public static int divide(int n,int m){if(1==n || 1==m)return 1;else if(n==m)return 1+divide(n, n-1);else if(n<m)return divide(n, n);elsereturn divide(n-m, m)+divide(n, m-1);}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();System.out.println(divide(n,n));}}