计数排序

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计数排序是一种算法复杂度 O(n) 的排序方法，适合于小范围集合的排序。比如100万学生参加高考，我们想对这100万学生的数学成绩（假设分数为0到100）做个排序。我们如何设计一个最高效的排序算法。本文不光给出计数排序算法的传统写法，还将一步步深入讨论算法的优化，直到时间复杂度和空间复杂度最优。

先看看计数排序的定义

Counting sort (sometimes referred to as ultra sort ormath sort^[1]) is asorting algorithm which (likebucket sort) takes advantage of knowing therange of the numbers in thearray to be sorted (arrayA). It uses this range to create an array C of this length. Each indexi in array C is then used to count how many elements in A have the valuei; then counts stored in C can then be used to put the elements inA into their right position in the resulting sorted array. The algorithm was created byHarold H. Seward in 1954.

计数排序是一个类似于桶排序的排序算法，其优势是对已知数量范围的数组进行排序。它创建一个长度为这个数据范围的数组C，C中每个元素记录要排序数组中对应记录的出现个数。这个算法于1954年由 Harold H. Seward 提出。

下面以示例来说明这个算法

假设要排序的数组为 A = {1,0,3,1,0,1,1}

这里最大值为3，最小值为0，那么我们创建一个数组C，长度为4.

然后一趟扫描数组A，得到A中各个元素的总数，并保持到数组C的对应单元中。

比如0 的出现次数为2次，则 C[0] = 2;1 的出现次数为4次，则C[1] = 4

 

由于C 是以A的元素为下标的，所以这样一做，A中的元素在C中自然就成为有序的了，这里我们可以知道 顺序为 0,1,3 (2 的计数为0)

然后我们把这个在C中的记录按每个元素的计数展开到输出数组B中，排序就完成了。

也就是 B[0] 到 B[1] 为0  B[2] 到 B[5] 为1 这样依此类推。

这种排序算法，依靠一个辅助数组来实现，不基于比较，算法复杂度为 O(n) ，但由于要一个辅助数组C，所以空间复杂度要大一些，由于计算机的内存有限，这种算法不适合范围很大的数的排序。

注：基于比较的排序算法的最佳平均时间复杂度为 O(nlogn)

 

Counting sort
Depends on a key assumption: numbers to be sorted are integers in{0, 1, . . . , k}.
Input: A[1 . . n], where A[ j ] ∈ {0, 1, . . . , k} for j = 1, 2, . . . , n. Array A and
values n and k are given as parameters.
Output: B[1 . . n], sorted. B is assumed to be already allocated and is given as a
parameter.
Auxiliary storage: C[0 . . k]
8-4 Lecture Notes for Chapter 8: Sorting in Linear Time
COUNTING-SORT(A, B, n, k)
for i ← 0 to k
do C[i ] ← 0
for j ← 1 to n
do C[A[ j ]] ← C[A[ j ]] + 1
for i ← 1 to k
do C[i ] ← C[i ] + C[i − 1]
for j ← n downto 1
do B[C[A[ j ]]] ← A[ j ]
C[A[ j ]] ← C[A[ j ]] − 1
Do an example for A = 21, 51, 31, 01, 22, 32, 02, 33
Counting sort is stable (keys with same value appear in same order in output as
they did in input) because of how the last loop works.