邻接矩阵的幂

在图论中，我们可以用0,1的邻接矩阵表示图中边集，或者说点集中两两间的连通性。
可它毕竟是矩阵，矩阵的乘法要是用到邻接矩阵上，会发生什么呢？
它是自己乘自己，所以是幂。

设A是某个图的邻接矩阵
考虑矩阵乘法的定义：

令

C=A×B

Cij=∑k=1nAik×Bkj

那么

A2ij=∑k=1nAik×Akj

邻接矩阵A中的元素都是用0,1来表示是否联通的，或者说，代表有没有方法从i走到j。那么，Ai,k×Akj就是表示从i走到k再走到j是否可行。可以发现，A2就是取了一个Σ，其实就是统计用2步从i走到j的方法总数。
考虑累乘的效果，矩阵Am所代表的意义就是从点与点之间走m步能够到达的方案总数。