五大常用算法：回溯法

1、概念

回溯算法实际上是一个类似枚举的搜索尝试过程，
主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

回溯法是一种优选搜索法，按选优条件向前搜索，已到达目标。但当搜索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术称为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

许多复杂的，规模较大的的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发深度搜索解空间树。当搜索到某一节点时，要先判断该节点是否包含问题的解，如果包含，就从该节点出发继续探索下去，如果该节点不包含问题的解，则逐层向其祖先节点回溯。（回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

而若使用回溯法求人一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤

1. 针对所给问题，确定问题的解空间：

首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

1. 确定节点的扩展搜索规则
2. 以深度优先凡是搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架

• 问题框架

  • 设问题的解是一个n维向量（ a1，a2，…… ，an），约束条件是 ai（ i = 1，2，3，……，n ）之间满足某种条件，记为 f(ai)。

• 非递归回溯框架

int a[n], i;        // 初始化数组a[];i = 1;while (i > 0 (有路可走) and (为达到目标)) { // 还未回溯到头    if (i > n) {            // 搜索到叶节点        搜索到一个解，输出。    } else {                // 处理第i个节点        a[i]第一个可能的值；        while (a[i] 在不满足约束条件且在搜索空间内) {            a[i]下一个可能的值；        }        if (a[i] 在搜索空间内) {            标识占用的资源；            i = i + 1；          // 扩展下一个节点        } else {            清理所占的状态空间；          // 回溯            i = i - 1；        }    }}

• 递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中 i 为搜索的深度，框架如下：

int a[n];try (int n) {    if (i > n)        输出结果；    else {        for (int j = 下界； j <= 上界； j = j + 1) {            if (fun (j)) {                a[i] = j;                ...                try(i + 1)                回溯前的清理工作(如 a[i] 置空值等)；            }        }    }}