第一部分 5.4.1 概率论中的乘法和加法（生日悖论）

由生日悖论想到的....

 

 ---第五章主要讲概率论的一些内容，概率论我一直学得懵懵懂懂，于是梳理了一下，贴出来与大家分享。

 

说起概率论，我们往往最先想到的就是两个概率相乘或两个概率相加，“且关系”就相乘，“或关系”就相加，它们好像能解决所有问题。

 

让我们举个例子具体来说：

 

假设有两个并排放的灯泡A,B，它们的质量比较差：

 

使用一天后，还能正常工作的概率P{Good}为： 1/3

                  烧毁的概率P {Bad}  为：  2/3

 

（这里假设它们的线路是完全独立的，也就是说一个烧坏的话不会影响另一个）

 

那么一天之后，A正常且B也正常的概率就是两者概率的乘法：

P{A=Good 且 B=Good} = P{A=Good} * P {B=Good} = 1/3 * 1/3 = 1/9

 

继续使用乘法，我们能得出一天后能出现的所有情况，及它们各自的发生概率（这里用“亮”表示正常，“灭”表示烧毁）：

情景    A   B    概率

1.        亮 亮 1/9

2.        亮 灭  2/9

3.        灭 亮 2/9

4.        灭 灭 4/9

 

这时，若我们要求“只有一盏灯是亮的概率”，显然它相当与求“情景2或情景3”，那么我们则用概率的加法运算：

P{2或3} = P{2}+P{3} = 2/9 + 2/9 = 4/9

 

同样，“至少有一盏灯是亮的”，“只有A灯是亮的”，“所有灯都是灭的”等等，都可以用同样办法归类为“且关系”和“或关系”，并付诸于概率的乘法和概率的加法。这仿佛更加印证了我们最初说的那句话。

 

然而，事实有那样简单吗？

 

答案是否定的。同样举个例子来说：

 

还是上面的已知，换个角度讲：A，B灭掉的概率都是2/3，请问“A灭掉或B灭掉”的概率是多少？

 

这时如果用我们经典的“或关系”理论应该用加法：

P{A=Bad 或 B=Bad} = P{A=Bad} + P{B=Bad} = 2/3 + 2/3 = 4/3

 

“啊？竟还有这种事？发生的概率竟大于100%？” 您一定会这样惊叹~ 至少我当时是这样惊叹的....

 

这个例子很简洁的否定了“且关系用乘法，或关系用加法”的普适性。那么，我们很快想到另一个问题....

 

在概率论中，到底在什么情况下使用加法，什么情况下使用乘法？

 

“且关系用乘法，或关系用加法”是有道理的，但还需加上更多的限定。因为有些情况，虽然是或关系，却不能用加法，如上例所示，反之亦然。那么到底少了哪些限定呢？

 

这一切都要归因于....“概率分母”...(“概率分母”是我自己起的名字，它指已知概率的统计对象，也就是其作为分母的实体)

 

改良定理：

 

1. 若两个事件的概率分母相同，并且两事件是互斥的，那么它们的或运算（其中任一个发生的概率），用概率的加法运算。其本质是分母相同，所以分子可以相加。

 

    比如我们在第二个例子中提到的四个情景，它们的概率分母都是同一个----所有可能的情景。四个情景是互斥的，也就是最多只能有一个发生。这时，“情景2或情景3” 其实是同一分母的两个分子，“有一盏灯是亮的”是两者的集合，所以是可以相加的。（但注意，因为概率分母相同，这里“情景2且情景3”是不可以相乘的，它的概率是0）

 

2. 若两个事件的概率分母不同，则它们的且运算（同时发生的概率），用概率的乘法运算。其本质是两个概率分支的树形叠加。（为了防止出错我们可以简单的这样记：“分母不同是不能直接相加的”）

 

    比如我们举的第一个例子，A亮的概率1/3 分母是A灯所有可能情景，而B亮的概率1/3分母是B灯所有可能情景，两者是不同的。所以两者的且运算可以直接相乘，两者都亮的概率是1/9。但就如我们第三个例子所示，两者的或运算是不能直接加的，而应该用第二个例子中的方法，用更多步运算求得。

 

     另外，值得特别指出的就是，在定理2中，涉及到两事件“独立/不独立”的问题，而习惯上这里“不独立”就是指“依赖”。即

     独立：P{A 且 B} = P{A} * P{B}

     依赖：P{A 且 B} = P{A} * P{B|A}

 

     这里，如果有依赖关系，一般从字面就能明显看出（比如，有2/3的顾客购买方便面后又购买了香肠）。否则就是独立关系。或者我们可以这样判断一下“若P{B}==P{B|A}，就是说B的发生和A的发生没什么关系，就是说独立。否则就会相互依赖，就要稍微注意一下乘法运算是B的概率数值的取值了”