LeetCode---300. Longest Increasing Subsequence (M)

这星期老师刚好讲到动态规划，讲了最长递增子序列（LIS）问题，于是在LeetCode中找了该题来做

1 题目
     求最长递增子序列长度。即在一个给定的数值序列中，找到一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。这是一道动态规划的典型问题
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2 分析
     该题利用动态规划的方法，有两种常用的方法：

方法一：
       O(n^2)复杂度

       用一个数组dp[i]存储以当前位置的数字结尾(nums[i])的最长递增子序列的长度

       dp(i) = max {L(j), j<i && nums[i] > nums[j]  } + 1

      

int Max(int a, int b) {    return a > b ? a : b;}    class Solution {public:    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {        if(nums.empty()) return 0;        if(nums.size() == 1) return 1;                int n = nums.size();        vector<int> dp(n, 1);                int res = 1;                for(int i = 0; i < n; i++){            for(int j = 0; j < i; j++) {                if(nums[i] > nums[j])                    dp[i] = Max(dp[i], dp[j] + 1);            }            res = Max(dp[i], res);        }        return res;    }        };

方法二：
      O(nlogn)复杂度

      用一个数组minEnd[i]存储长度为i+1的递增子序列的最小末尾数，则minEnd数组是有序的。

      对于每一个nums[i]，在minEnd中找到第一各比nums[i]大的数所在的位置pos，并且用nums[i]替换minEnd[pos]

      最后minEnd数组中的元素个数即为所求的最大长度

      note:

           因为minEnd是有序的，使用二分查找的方法进行查找并替换，复杂度为logn

           minEnd中的序列并不是要求的递增子序列

class Solution {public:    /**     * 输入：有序数组nums，要查找的数target     * 返回：第一个比target大的数的位置    **/    int search(int start, int end, int target, vector<int> nums) {        if (target > nums[end])             return end + 1;                    else if(target < nums[start])            return start;                    else {            int mid = (start + end) / 2;            //target已经存在于数组中            if(target == nums[mid])                return -1;            else if(target < nums[mid])             return search(start, mid, target, nums);                            else if(target > nums[mid])            return search(mid + 1, end, target, nums);        }    }                    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {        //数组为空，LIS长度为0        if(nums.empty())            return 0;        //数组长度为1时，LIS长度为1        if(nums.size() == 1)            return 1;                //minEnd[i]:存储长度为i+1的递增子序列的最小末尾数        vector<int> minEnd(nums.size());        minEnd[0] = nums[0];                //minEnd的元素个数        int len = 1;                for(int i = 1; i < nums.size(); i++) {                        int pos = search(0, len - 1, nums[i], minEnd);                    if(pos == -1)                continue;                            else {                minEnd[pos] = nums[i];                if(pos == len)                     len++;            }        }        return len;    }};