caffe中的normalization_layer

caffe-ssd里面有normalization的实现，包括.hpp，.cpp，.cu。其实现的是L2-normalization
L2正则化的公式是：

现在来看caffe的代码实现。
首先是caffe.proto，这里面定义了normalization_parameter
message NormalizeParameter {
optional bool across_spatial = 1 [default = true];
// Initial value of scale. Default is 1.0 for all
optional FillerParameter scale_filler = 2;
// Whether or not scale parameters are shared across channels.
optional bool channel_shared = 3 [default = true];
// Epsilon for not dividing by zero while normalizing variance
optional float eps = 4 [default = 1e-10];
}
这里面有两个很重要的参数，across_spatial和channel_shared。
accross_spatial决定了normalization的范围，如果为true的话（默认），则对每个num(channel*height*width)整体进行normalization，也就是上面xi的平方加和的个数是channel*height*width；如果是false的话，就表明normalization不是accross_spatial的，上面加和的个数是channel，也就是说，spatial中的每个像素点（height*width个数）分别进行normalization，这就大大减小了normalization的范围.
至于channel_shared。在上面的归一化完了之后，要将top_data乘以一个scale（这个scale是normalization_layer的唯一的参数），如果channel_shared为true（默认），那么top_data的所有channel都乘以同一个数，如果channel_shared为false，那么top_data的channel乘的数是不一样的。
下面看forward_cpu。

for (int n = 0; n < num; ++n) {    caffe_sqr<Dtype>(dim, bottom_data, buffer_data);    if (across_spatial_) {      // add eps to avoid overflow      norm_data[n] = pow(caffe_cpu_asum<Dtype>(dim, buffer_data)+eps_,                         Dtype(0.5));      caffe_cpu_scale<Dtype>(dim, Dtype(1.0 / norm_data[n]), bottom_data,                             top_data);    } else {      caffe_cpu_gemv<Dtype>(CblasTrans, channels, spatial_dim, Dtype(1),                            buffer_data, sum_channel_multiplier, Dtype(1),                            norm_data);      // compute norm      caffe_powx<Dtype>(spatial_dim, norm_data, Dtype(0.5), norm_data);      // scale the layer      caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, spatial_dim,                            1, Dtype(1), sum_channel_multiplier, norm_data,                            Dtype(0), buffer_data);      caffe_div<Dtype>(dim, bottom_data, buffer_data, top_data);      norm_data += spatial_dim;    }    // scale the output    if (channel_shared_) {   //defalut为true      caffe_scal<Dtype>(dim, scale[0], top_data);  //都乘以一个scale[0]    } else {      caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, spatial_dim,                            1, Dtype(1), scale, sum_spatial_multiplier,                            Dtype(0),                            buffer_data);      caffe_mul<Dtype>(dim, top_data, buffer_data, top_data);    }    bottom_data += dim;    top_data += dim;  }

注意，这里的循环以及最后的bottom_data += dim; top_data += dim;这表明任何情况下normalization_layer都是对每一个num进行归一化的，而不是对所有的num进行归一化。
首先是 caffe_sqr(dim, bottom_data, buffer_data); 这是将bottom_data的第一个num进行element_wise的平方，并保存在buffer_data中。
然后进入第一个if（也就是across_spatial为true，此时norm_data形状为（num,1,1,1））

if (across_spatial_) {// add eps to avoid overflownorm_data[n] = pow(caffe_cpu_asum<Dtype>(dim, buffer_data)+eps_,                   Dtype(0.5));caffe_cpu_scale<Dtype>(dim, Dtype(1.0 / norm_data[n]), bottom_data,                       top_data); }

第一句算出了buffer-data所有元素的和（加上eps_防止overflow），然后开根号
第二句是将bottom_data的所有元素乘上norm_data[n]的导数。至此across_spatial为true下的normalization就完成了。
下面是第一个else，也就是across_spatial为false的情况
else {
caffe_cpu_gemv(CblasTrans, channels, spatial_dim, Dtype(1),
buffer_data, sum_channel_multiplier, Dtype(1),
norm_data);
// compute norm
caffe_powx(spatial_dim, norm_data, Dtype(0.5), norm_data);
// scale the layer
caffe_cpu_gemm(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, spatial_dim,
1, Dtype(1), sum_channel_multiplier, norm_data,
Dtype(0), buffer_data);
caffe_div(dim, bottom_data, buffer_data, top_data);
norm_data += spatial_dim;
}
这段代码要完成的事情我们上面已经介绍了，很简单，只不过实现上比across_spatial为true要复杂些。我们看到上面总共有4个操作，现分别介绍。（注意，此时norm_data为（num,1,height,width））

第一个操作：
norm_data=1*buffer_data*sum_channel_multiplier+1*norm_data
(后面那个1改成0也行，因为norm_data没有进行任何初始化，所以其原始元素为0）
其中，buffer_data形状为channel*spatial_dim(计算时要转置，因为第一个参数是CblasTrans）
sum_channel_multiplier形状为 channel*1(其元素都是1）
norm_data(参与运算的）的形状为spatial_dim*1
这里的norm_data相当于在channel维度上对元素进行了求平方和，然后结果存在norm_data中（存了spatial_dim也就是height*width个）,
第二个操作：
caffe_powx(spatial_dim, norm_data, Dtype(0.5), norm_data);
对上面得到的norm_data开根号
第三个操作：
buffer_data=sum_channel_multiplier*norm_data
其中，buffer_data为channels*spatial_dim
sum_channel_multiplier为channel*1（所有元素为1）
norm_data位1*spatial_dim
这里是将norm_data扩展成channel个，得到了buffer_data，便于后面的element_wise的相除
第4个操作：
caffe_div(dim, bottom_data, buffer_data, top_data);
top_data=bottom_data/buffer_data （element_wise）
最后，别忘了norm_data会加上一个spatial_dim。这样好就行下一个num的计算。
以上就完成了across_spatial为false的normalization。
接下来是第二个if(跟上面的if是平行而不是嵌入的关系，即是在上面的normalization完成后进行的）

if (channel_shared_) {   //defalut为true      caffe_scal<Dtype>(dim, scale[0], top_data);  //都乘以一个scale[0]    }

如果channel_shared为ture，则将整个top_data乘以一个scale[0]

else { caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, channels, spatial_dim,                       1, Dtype(1), scale, sum_spatial_multiplier,                       Dtype(0),                       buffer_data); caffe_mul<Dtype>(dim, top_data, buffer_data, top_data);}

完成的操作是：
buffer_data= scale*sum_spatial_multiplier
其中 buffer_data： channel*spatial_dim
scale : channel
sum_spatial_multiplier: 1*spatial_dim （元素都是1）
其实就是将scale复制spatial_dim遍，做成一张mask，以便后面element_wise的相乘
caffe_mul(dim, top_data, buffer_data, top_data);
最后是bottom_data += dim;top_data += dim;整个上面提到过的，进入下一个num的归一化。