Digital Root(数根推导)

今天在leetcode上面碰到了在O(1)时间解决数根问题，后来发现运用数学公式确实可以在常数时间内解决。

For base b (decimal case b = 10), the digit root of an integer is:

• dr(n) = 0 if n == 0
• dr(n) = (b-1) if n != 0 and n % (b-1) == 0
• dr(n) = n mod (b-1) if n % (b-1) != 0

or

• dr(n) = 1 + (n - 1) % 9

Note here, when n = 0, since (n - 1) % 9 = -1, the return value is zero (correct).

推导过程：参考http://blog.csdn.net/ray0354315/article/details/53991199

推导：假定十进制数n，表达式写为 

x=∑i=0n−1ai10i

其中ai 表示从低到高的每一位，因为10i≡1i≡1(mod9) ，那么 

x≡∑i=0n−1ai(mod9)

也就是说

一个数和他各位数之和的模9同余

我们使 

f(x)=∑i=0n−1ai

也就是 

f(x)≡x(mod9)

则有 

f(f(x))≡f(x)≡x(mod9)

就是说每次累加模9的操作对于原数直接取模9是一样的，但只适用于x≢0(mod9)

完整的公式为 

dr(n)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,9,nmod9,if n=0if n≠0,n≡0(mod9)if n≢0(mod9)

最后推导出

digital root = 1 + ((num - 1) % 9)