回溯算法

1、概念

      回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

   回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

     许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

   在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

       若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

       而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：

    （1）针对所给问题，确定问题的解空间：

            首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

    （2）确定结点的扩展搜索规则

    （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法应用示例：

八皇后问题的递归实现

[java] view plain copy

1. public class Empress {    
2.         
3.     private int n ; //皇后个数    
4.     private int[] x ; //当前解    
5.     private long sum ; //当前已找到的可行方案数    
6.     private static int h ;      //记录遍历方案序数    
7.     
8.     public Empress(){    
9.         this.sum = 0 ;  //初始化方案数为1，当回溯到最佳方案的时候，就自增1    
10.         this.n = 8 ;    //求n皇后问题，由自己定义    
11.         this.x = new int[n+1];  //x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列    
12.         h = 1 ; //这个是我额外定义的变量，用于遍历方案的个数，请看backTrace()中h变量的作用，这里将它定义为static静态变量    
13.     }    
14.     
15.     public boolean place (int k){    
16.         for (int j = 1 ; j < k ; j++){    
17.             //这个主要是刷选符合皇后条件的解，因为皇后可以攻击与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子    
18.             if ( (Math.abs(k - j)) == (Math.abs(x[j]-x[k])) || (x[j] == x[k]) ){    
19.                 return false ;  //如果是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回false;    
20.             }    
21.         }    
22.         return true ;//如果不是与之同一行同一列的或同一斜线上的棋子，返回true;    
23.     }    
24.         
25.     public void backTrace (int t){    
26.         if (t > n){  //当t>n时,算法搜索到叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，方案数加1    
27.             sum ++ ;    //方案数自增1    
28.             System.out.println ("方案" + (h++) + "");    
29.             print(x);    
30.             System.out.print ("\n----------------\n");//华丽的分割线    
31.         }else { //当t<=n时，当前扩展的结点Z是解空间中的内部结点，该节点有x[i]=1,2，…,n共n个子结点，    
32.                 //对于当前扩展结点Z的每一个儿子结点，由place()方法检测其可行性，    
33.                 //并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子数    
34.             for (int i = 1 ; i <= n ; i++){    
35.                 x[t] = i ;      
36.                 if (place (t)){     //检查结点是否符合条件    
37.                     backTrace (t+1);    //递归调用                  
38.                 }    
39.             }    
40.         }    
41.     }    
42.         
43.     public void print (int[] a){    //打印数组，没啥的    
44.         for (int i = 1 ; i < a.length ; i++){    
45.             System.out.print ("皇后" + i + "在" + i + "行" +a[i] + "列、");    
46.         }    
47.     }    
48.         
49.     public static void main (String[] args){    
50.         Empress em = new Empress();    
51.         em.backTrace(1);    //从1开始回溯    
52.         System.out.println ("\n详细方案如上所示，"+"可行个数为:" + em.sum);    
53.     }    
54. }/*output:八皇后问题只有92种方案，这里只给出其中的三个方案  
55. 方案1  
56. 皇后1在1行1列、皇后2在2行5列、皇后3在3行8列、皇后4在4行6列、皇后5在5行3列、皇后6在6行7列、皇后7在7行2列、皇后8在8行4列、  
57. ----------------  
58. 方案2  
59. 皇后1在1行1列、皇后2在2行6列、皇后3在3行8列、皇后4在4行3列、皇后5在5行7列、皇后6在6行4列、皇后7在7行2列、皇后8在8行5列、  
60. ----------------  
61.         .  
62.         .  
63.         .  
64. 方案92  
65. 皇后1在1行8列、皇后2在2行4列、皇后3在3行1列、皇后4在4行3列、皇后5在5行6列、皇后6在6行2列、皇后7在7行7列、皇后8在8行5列、  
66. ----------------  
67. *///~    

分书问题：
    有编号为 A、B、C、D、E 的 5 本书，以及 5 个人，每本书可以分给每一个对该书有兴趣的人阅读，且每个人都只能分到一本自己
感兴趣的书。问当给定 5 个人对 5 本书的感兴趣情况时，怎样分配这 5 本书才能让每个人都开始阅读。

思路：每次都尝试给第 p 个人从 5 本书中分出他感兴趣的一本，若不能构成最终解，则撤销回溯到上一个人（即第 p – 1 个人）的分配。
我们如下确定：
int bookCounts 表示书的总数量，与总人数相等
int like [p] [b] = 1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书，即具体的问题初始条件；
int given [b] = p 表示第 b 本书分给了第 p 个人，即保存解的标识数组；
注：在这里 p ，b （即下标）都从 0 开始，算法实现如下：

/**  * 回溯法求解分书问题   * @author haolloyin  */ public class AllacateBooks {     // 书的总数量，与总人数相等     private int bookCounts = 5;     // like[p][b]=1 表示第 p 个人喜欢读第 b 本书      private int[][] like = new int[bookCounts][bookCounts];    // given[b] = p 表示将第 b 本书分配给第 p 个人      private int[] given = new int[bookCounts];    // 初始化标识数组 given[] 和传入各人喜欢书的情况数组      private void init(int like[][]) {        for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {           given[i] = -1; // -1 表示第 i 本书还没分配出去        }          this.like = like;      }    // 尝试给每一个人分配一本书      public void allocateBook(int person) {        for (int bookNum = 0; bookNum < bookCounts; bookNum++) {          if (like[person][bookNum] == 1 && given[bookNum] == -1) {             given[bookNum] = person;             if (person == bookCounts - 1) {                // 打印结果                for (int i = 0; i < bookCounts; i++) {                 System.out.println("人 " + (given[i]+1) + " <---> 书 " + ((char)(i + 'A')));                }                System.out.println();             } else {               // 为下一个人分配一本书               allocateBook(person + 1);             }            // 失败，回溯重新寻找解             given[bookNum] = -1;         }       }      } // 测试   public static void main(String[] args) {    // 构造一个问题规模      int[][] like = new int[][]{           { 0, 0, 1, 1, 0 },           { 1, 1, 0, 0, 1 },           { 0, 1, 1, 0, 1 },           { 0, 0, 0, 1, 0 },           { 0, 1, 0, 0, 1 }};    AllacateBooks allocateBooks = new AllacateBooks();    allocateBooks.init(like);    allocateBooks.allocateBook(0);   } }  对应于所给的问题规模，所得的解如下：人 2 <---> 书 A人 3 <---> 书 B人 1 <---> 书 C人 4 <---> 书 D人 5 <---> 书 E人 2 <---> 书 A人 5 <---> 书 B人 1 <---> 书 C人 4 <---> 书 D人 3 <---> 书 E

[实验目的]

综合运用数组、递归等数据结构知识，掌握、提高分析、设计、实现及测试程序的综合能力。

[实验内容及要求]

以一个M×N的长方阵表示迷宫，0和1分别表示迷宫中的通路和障碍。设计一个程序，对任意设定的迷宫，求出一条从入口到出口的通路，或得出没有通路的结论。

（1）   根据二维数组，输出迷宫的图形。

（2）   探索迷宫的四个方向：RIGHT为向右，DOWN向下，LEFT向左，UP向上，输出从入口到出口的行走路径。

[测试数据]

左上角（1，1）为入口，右下角（8，9）为出口。

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

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0

1

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1

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1

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1

1

1

1

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0

1

1

1

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0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

[实现提示]

可使用回溯方法，即从入口出发，顺着某一个方向进行探索，若能走通，则继续往前进；否则沿着原路退回，换一个方向继续探索，直至出口位置，求得一条通路。假如所有可能的通路都探索到而未能到达出口，则所设定的迷宫没有通路。

[java] view plain copy

1. import java.util.*;  
2.    
3. class Position{  
4.     public Position(){  
5.    
6.     }  
7.    
8.     public Position(int row, int col){  
9.         this.col = col;  
10.         this.row = row;  
11.     }  
12.    
13.     public String toString(){  
14.         return "(" + row + " ," + col + ")";  
15.     }  
16.    
17.     int row;  
18.     int col;  
19. }  
20.    
21. class Maze{  
22.     public Maze(){  
23.         maze = new int[15][15];  
24.         stack = new Stack<Position>();  
25.         p = new boolean[15][15];  
26.     }  
27.    
28.     /* 
29.      * 构造迷宫 
30.      */  
31.     public void init(){  
32.         Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
33.         System.out.println("请输入迷宫的行数");  
34.         row = scanner.nextInt();  
35.         System.out.println("请输入迷宫的列数");  
36.         col = scanner.nextInt();  
37.         System.out.println("请输入" + row + "行" + col + "列的迷宫");  
38.         int temp = 0;  
39.         for(int i = 0; i < row; ++i) {  
40.             for(int j = 0; j < col; ++j) {  
41.                 temp = scanner.nextInt();  
42.                 maze[i][j] = temp;  
43.                 p[i][j] = false;  
44.             }  
45.         }  
46.     }  
47.    
48.     /* 
49.      * 回溯迷宫，查看是否有出路 
50.      */  
51.     public void findPath(){  
52.         // 给原始迷宫的周围家一圈围墙  
53.         int temp[][] = new int[row + 2][col + 2];  
54.         for(int i = 0; i < row + 2; ++i) {  
55.             for(int j = 0; j < col + 2; ++j) {  
56.                 temp[0][j] = 1;  
57.                 temp[row + 1][j] = 1;  
58.                 temp[i][0] = temp[i][col + 1] = 1;  
59.             }  
60.         }  
61.         // 将原始迷宫复制到新的迷宫中  
62.         for(int i = 0; i < row; ++i) {  
63.             for(int j = 0; j < col; ++j) {  
64.                 temp[i + 1][j + 1] = maze[i][j];  
65.             }  
66.         }  
67.         // 从左上角开始按照顺时针开始查询  
68.    
69.         int i = 1;  
70.         int j = 1;  
71.         p[i][j] = true;  
72.         stack.push(new Position(i, j));  
73.         while (!stack.empty() && (!(i == (row) && (j == col)))) {  
74.    
75.             if ((temp[i][j + 1] == 0) && (p[i][j + 1] == false)) {  
76.                 p[i][j + 1] = true;  
77.                 stack.push(new Position(i, j + 1));  
78.                 j++;  
79.             } else if ((temp[i + 1][j] == 0) && (p[i + 1][j] == false)) {  
80.                 p[i + 1][j] = true;  
81.                 stack.push(new Position(i + 1, j));  
82.                 i++;  
83.             } else if ((temp[i][j - 1] == 0) && (p[i][j - 1] == false)) {  
84.                 p[i][j - 1] = true;  
85.                 stack.push(new Position(i, j - 1));  
86.                 j--;  
87.             } else if ((temp[i - 1][j] == 0) && (p[i - 1][j] == false)) {  
88.                 p[i - 1][j] = true;  
89.                 stack.push(new Position(i - 1, j));  
90.                 i--;  
91.             } else {  
92.                 stack.pop();  
93.                 if(stack.empty()){  
94.                     break;  
95.                 }  
96.                 i = stack.peek().row;  
97.                 j = stack.peek().col;  
98.             }  
99.    
100.         }  
101.    
102.         Stack<Position> newPos = new Stack<Position>();  
103.         if (stack.empty()) {  
104.             System.out.println("没有路径");  
105.         } else {  
106.             System.out.println("有路径");  
107.             System.out.println("路径如下：");  
108.             while (!stack.empty()) {  
109.                 Position pos = new Position();  
110.                 pos = stack.pop();  
111.                 newPos.push(pos);  
112.             }  
113.         }  
114.            
115.         /* 
116.          * 图形化输出路径 
117.          * */  
118.            
119.         String resault[][]=new String[row+1][col+1];  
120.         for(int k=0;k<row;++k){  
121.             for(int t=0;t<col;++t){  
122.                 resault[k][t]=(maze[k][t])+"";  
123.             }  
124.         }  
125.         while (!newPos.empty()) {  
126.             Position p1=newPos.pop();  
127.             resault[p1.row-1][p1.col-1]="#";  
128.            
129.         }  
130.            
131.         for(int k=0;k<row;++k){  
132.             for(int t=0;t<col;++t){  
133.                 System.out.print(resault[k][t]+"\t");  
134.             }  
135.             System.out.println();  
136.         }  
137.        
138.    
139.     }  
140.    
141.     int maze[][];  
142.     private int row = 9;  
143.     private int col = 8;  
144.     Stack<Position> stack;  
145.     boolean p[][] = null;  
146. }  
147.    
148. class hello{  
149.     public static void main(String[] args){  
150.         Maze demo = new Maze();  
151.         demo.init();  
152.         demo.findPath();  
153.     }  
154. }