图论基础(一)

有向图定义

​ 有向图G是一个二元组(V, E)，记为G=(V, E)。
其中V是有向图G的顶点集合，是一个有限集合，元素为顶点；E是有向图G的边集合，元素为边，边也是一个二元组< u, v >，其中u，v是有向图G的顶点集合中的元素，< u, v >在这里是有方向的边，以u为起点，指向v的一条有向路径。u可以与v相同，代表自身指向自身的一个自环路径。

​ 假定存在有向图G=(V, E)，顶点集合V={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }，边集合E={ < 1, 2 >, <1, 3>, < 3, 4 >, < 4, 5 >, < 5, 6 > , < 6, 6 > } ，该有向图的结构则为以下形式：

无向图定义

​ 无向图G是一个二元组(V, E)，记为G=(V, E)。同样，V是无向图G的顶点集合，是一个有限集合，元素为顶点；E是无向图G的边集合，元素为边，边也是一个二元组(u, v)，其中u，v是无向图G的顶点集合中的元素，(u, v)是不具有方向的边，因此(u, v)与(v, u)是同一条边，另外，u，v不能相同，无向图中不存在环。

​ 假定存在无向图G=(V, E)，顶点集合V={ 1, 2, 3, 4 }，边集合E={ (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4) }，则该无向图的结构则为以下形式：

邻接关系、度及路径

​ 对于有向图G=(V, E)，若存在(u, v)，u指向v，则称v邻接与u，同理，(v, u)，称为u邻接于v；对于无向图G=(V, E)，邻接关系则是对称的，v邻接于u，或u邻接于v，表达的都是同一个关系——(u, v)。

​ 对于无向图G=(V, E)，某顶点的度为经过该顶点的边的数量，若某顶点的度为0，则称该顶点是孤立的；对于有向图G=(V, E)，以某顶点为起点的边的数量，称为出度，以该顶点为终点的边的数量，称为入度，同样，若该顶点出度入度均为0，也可以称该顶点是孤立的。

​ 图G=(V, E)存在从顶点u到u’的一条长度为k的路径，该路径经过顶点序列(v0, v1, v2, …, vk)，其中u=v0，u’=vk，且(v(i - 1), vi)属于E，i=1, 2, 3, …, k。路径的长度即为边的数量。若u到u’存在一条长度为k的路径，则称u到u’是可达的。若u到u’的路径上的顶点各不相同(互异)，则称该路径为简单路径。

​ 在有向图G=(V, E)中，如果路径p=< v0, v1, v2, …, vk >，v0=vk，且该路径至少有一条边，则该路径为环。长度为1的环，称为自环。如果v1, v2, …, vk各不相同，则称该环为简单的。