浅谈路径规划算法之Bellman-Ford算法

  最近在研究AGV系统的调度算法，为了实现多AGV小车的运行，给每一个AGV小车规划一条最优路径，对比了Bellman-Ford算法、SPFA算法、Dijkstra算法、Floyd算法和A*算法的优缺点，最终确定了使用A*算法作为路径规划算法。

 

下面总结下几种算法：

1、Bellman-Ford算法 

（1）贝尔曼-福特算法是计算从源点到任意一点的最短路径的长度，初始化数组dist[0]为0，dist[i]为无穷大。

（2）以下操作循环执行至多n-1次，n为顶点数：

   对于每一条边 edge(Start,End)，如果dist[Start] +Weight(Start, End)<dist[End]，则令dist[End] =dist[Start]+Weight(Start, End)。若上述操作没有对dist进行更新，说明最短路径已经查找完毕，或者部分点不可达，跳出循环。否则执行下次循环；

为了检测图中是否存在负环路，即权值之和小于0的环路。对于每一条边dge(Start,End)，如果存在dist[Start] + Weight(Start, End) < dist[End]的边，则图中存在负环路，即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组dist[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

       注释：Start是一条有向边的起点，End是一条有向边的终点；edge(Start,End)为节点Start和节点End之间边；Weight(Start, End)为节点Start和节点End之间的边的权值；dist[i]是指源节点到i节点的距离；

Bellman－Ford算法可以大致分为三个部分
第一，初始化所有点。每一个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历所有的边，进行松弛计算。
第三，遍历途中所有的边（edge（u，v）），判断是否存在这样情况：d（v）> d (u) + w(u,v)则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。

 ！！！之所以需要第三部分的原因，是因为，如果存在从源点可达的权为负的回路。则 应为无法收敛而导致不能求出最短路径。

                             

经过第一次遍历后，点B的值变为5，点C的值变为8，这时，注意权重为－10的边，这条边的存在，导致点A的值变为－2。（8＋ －10＝－2）

                               

第二次遍历后，点B的值变为3，点C变为6，点A变为－4。正是因为有一条负边在回路中，导致每次遍历后，各个点的值不断变小。所以这是无限循环的。

下面是Bellman-Ford算法的实现代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>using namespace std;const int maxnum=100;   //最大边数const int maxint=9999;  //源点和某点不可达时的距离//有向边的结构体typedef struct Edge{    int Start; //有向边边的起始点    int End;   //有向边的终点    int Weight;//边的权重}Edge;Edge edge[maxnum];//有向边的数组int dist[maxnum]; //距离数组//节点的数目、边的数目、源节点的下标int nodenum,edgenum,source;//初始化函数void Init(){    cin>>nodenum>>edgenum>>source;    for(int i=1;i<=nodenum;i++)        dist[i]=maxint;    dist[source]=0;    for(int i=1;i<=edgenum;i++)    {        cin >> edge[i].Start >> edge[i].End >> edge[i].Weight;        if(source==edge[i].Start)        {            dist[edge[i].End]=edge[i].Weight;        }    }}//松弛函数void Relax(int Start,int End,int Weight){    if(dist[End]>dist[Start]+Weight)        dist[End]=dist[Start]+Weight;}//贝尔曼福特函数bool Bellman_Ford(){    for(int i=1;i<=nodenum-1;i++)    {        for(int j=1;j<=edgenum;j++)        {            Relax(edge[j].Start,edge[j].End,edge[j].Weight);        }    }    bool flag=1;    for(int i=1;i<=edgenum;i++)    {        //判断是否存在负回路        if(dist[edge[i].End]>dist[edge[i].Start]+edge[i].Weight)        {            flag=0;            break;        }    }    return flag;}int main(){    freopen("out.txt","r",stdin);//打开txt    Init();    if(Bellman_Ford())    {        for(int i=1;i<nodenum;i++)            cout<<dist[i]<<endl;//打印源节点到每个节点的距离    }    return 0;}

   贝尔曼算法的时间复杂度是O(V*E)，是非常大的，所以它的效率非常低。