Manacher算法:求解最长回文字符串,时间复杂度为O(N)
来源:互联网 发布:ipad pro app 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/20 11:48
回文串定义:“回文串”是一个正读和反读都一样的字符串,比如“level”或者“noon”等等就是回文串。回文子串,顾名思义,即字符串中满足回文性质的子串。
经常有一些题目围绕回文子串进行讨论,比如POJ3974最长回文,求最长回文子串的长度。朴素算法是依次以每一个字符为中心向两侧进行扩展,显然这个复杂度是O(N^2)的,关于字符串的题目常用的算法有KMP、后缀数组、AC 自动机,这道题目利用扩展KMP可以解答,其时间复杂度也很快O(N*logN)。但是,今天笔者介绍一个专门针对回文子串的算法,其时间复杂度为O(n),这就是manacher 算法。
原串:abaab
新串:#a#b#a#a#b#
这样一来,原来的奇数长度回文串还是奇数长度,偶数长度的也变成以‘#’为中心奇数回文串了。
接下来就是算法的中心思想,用一个辅助数组P 记录以每个字符为中心的最长回文半径,也就是P[i]记录以Str[i]字符为中心的最长回文串半径。P[i]最小为1,此时回文串为Str[i]本身。
我们可以对上述例子写出其P 数组,如下
新串: # a # b # a # a # b #
P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1
我们可以证明P[i]-1 就是以Str[i]为中心的回文串在原串当中的长度。
证明:
1、显然L=2*P[i]-1 即为新串中以Str[i]为中心最长回文串长度。
2、以Str[i]为中心的回文串一定是以#开头和结尾的,例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L 减去最前或者最后的‘#’字符就是原串中长度 的二倍,即原串长度为(L-1)/2,化简的P[i]-1。得证。 依次从前往后求得P 数组就可以了,这里用到了DP(动态规划)的思想, 也就是求P[i] 的时候,前面的P[]值已经得到了,我们利用回文串的特殊性质可以进行一个大大的优化。
先把核心代码贴上:
为了防止求P[i]向两边扩展时可能数组越界,我们需要在数组最前面和最后面加一个特殊字符,令P[0]=‘$’最后位置默认为‘\0’不需要特殊处理。此外,我们用MaxId 变量记录在求i 之前的回文串中,延伸至最右端的位置,同时用id 记录取这个MaxId 的id 值。通过下面这句话,算法避免了很多没必要的重复匹配。
那么这句话是怎么得来的呢,其实就是利用了回文串的对称性,如下图,
j=2*id-1 即为i 关于id 的对称点,根据对称性,P[j]的回文串也是可以对称到i 这边的,但是如果P[j]的回文串对称过来以后超过MaxId 的话,超出部分就不能对称过来了,如下图,
所以这里P[i]为的下限为两者中的较小者,p[i]=Min(p[2*id-i],MaxId-i)。算法的有效比较次数为MaxId 次,所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。
下面就贴一个具体代码,求解最长回文字符串的代码:
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